產生式系統在優差生數學解題中應用的實驗研究

【摘要】高中生的數學學習活動主要表現為解數學題，解數學題就是解題者運用大腦已儲存的產生式系統經過一定的探索，形成應有的數學解題方案并且實施到數學解題的過程.通過對42名高二學生進行產生式系統的測驗，得到的研究結果為：產生式系統與數學解題存在顯著正相關，且學困生在產生式系統與數學解題的相關性比學優生的相關性要顯著.

【關鍵詞】產生式；數學解題；優差生

一、問題提出

數學離不開解題，數學教學有重視解題的悠久歷史，掌握數學的一個重要標志就是善于解題.在教學實際中，一些學生反映，會解題的不知道怎么就會了，不會解題的也不知道怎么就老是學不會.數學課能聽懂，但一做題目或一碰新題卻困難重重.這給我們一個重要的提示:“學生聽懂數學知識與學會數學知識之間存在著很大的差距.”如何縮小這個差距，是數學教育者必須思考的問題.

本研究以產生式理論和數學認知心理的CPFS結構理論為依據，通過對部分高二數學優差生在數學解題解答中的不同表現和學習效果進行實證研究，試圖發現在解決數學題時產生式系統對于學生數學解題的影響.以期通過本文的研究能為高中數學解題教學和學生學習數學提供一些參考依據.

二、相關概念界定及理論基礎

依據現代認知心理學的知識分類理論，知識分為陳述性知識和程序性知識，前者是靜態的，是指在頭腦里儲存概念、規律、定則等的知識.后者是動態的，是指關于人完成一件事所需的程序和步驟及策略的知識.從心理表征看，陳述性知識以圖式表征，程序性知識是以“產生式系統”形式來表征的.所謂產生式，就是一條“如果……那么……”規則，即一個產生式是對某一或某些特定的條件滿足時才發生某種行為所編的程序.“通常解決一個復雜的問題或作業需要許多產生式，它們就構成了產生式系統.”解決一個數學問題，通常不是數學解題者頭腦中儲存的一個產生式就能完成的，而是幾個產生式共同作用的結果，應用這些不同的產生式解決一類問題表現為產生式序列，它們共同構成了產生式系統，每一個產生式（系統）掌握的前提是掌握其中更為基礎的產生式.

依據數學學習心理的CPFS結構理論：所謂CPFS結構是由概念域、概念系、命題域、命題系形成優良的一種數學認知結構.它說明在個體頭腦中內化的數學知識網絡之中，各知識點間具有某種抽象關系，這些抽象關系本身就蘊涵著思維方法，因而網絡中各知識點之間的聯結包含著數學方法.在數學學習中，學生如果沒有在頭腦中形成知識體系，那么一旦換一個側面去闡述同一個問題，他們就會不知所云.

三、研究方法

1.研究對象

選取南寧市某示范性高中高二普通班的一個班，總被試45人.發放問卷45份，有效問卷42份.

2.研究工具及過程

本研究采用自編的《高中數學知識測驗題》和《高中數學解題》，根據產生式系統在學習中體現的表現方式，編制了一份由11道題組成的四個產生式系統的知識測驗題，分別是：（1）解線性規劃；（2）求通項公式an；（3）求反函數；（4）求三角函數的最值問題.而且每個產生式系統的分值都是一樣的.還配套編制了一份由9道解答題形式的數學題，先對學生進行數學產生式系統知識題的測試（45分鐘），為了避免學生用定式思維去數學解題，一個月后，再對學生進行數學題的測試（45分鐘）.對數據資料分析采取定量分析的方法，使用SPSS17.0對數據作相關性及差異性分析，對兩份測試題分別作可靠性分析，《高中數學知識測驗題》的信度（克朗巴赫系數）為0.595，《高中數學解題》的信度（克朗巴赫系數）為0.517.

四、結果分析

1.數學產生式系統與解題關系的相關分析

為了研究全班學生數學產生式系統與數學解題能力的相關性，得到全班學生數學產生式系統與數學解題能力的相關系數為0.712**，由此數據可以看出，數學產生式系統與數學解題呈顯著高度正相關，數學產生式系統掌握得越牢，個體CPFS結構越穩定，數學解題能力就越好.

2.學優生與學困生產生式系統知識題與數學解題的相關分析

根據正態分布原理，一個普通班的優差生是少數，中等生居多，據此，本實驗中我們沒有考慮以往成績，僅以第一次實驗測試中的成績為標準，對高分組的界定是按第一份數學解題分靈敏從高到低排序，第一份數學解題的分數均在抽取樣本的25%作為高分組，即學優生，抽取樣本的后25%作為低分組，即學困生，處在中間部分的樣本作為中分組，即普通生.

（1）學優生與學困生各產生式系統的平均成績比較分析.通過讓學生完成第一份由11道題組成的四個產生式系統（每個產生式系統滿分均為25分）的知識測驗題，統計得到關于學優生與學差生的得分情況如圖所示：

從柱形圖表可以看出，對于學優生來說，產生式系統4（求三角函數的最值問題）掌握得比較好，而對于產生式系統2（求通項公式an）學生掌握得比較差；對于學困生來說，產生式系統4（求三角函數的最值問題）也是掌握得比較好，而對于產生式系統1（解線性規劃）學生掌握得比較差.這個結果表示大部分學生都能對求三角函數的最值問題的系統掌握得比較好，說明平時在解此類題時大部分學生還是能夠在頭腦中形成清晰的解題程序，而對于求通項公式an的系統是要分類討論得到結果的，學優生在解這類題時沒能形成詳細的分類系統，解題時往往考慮少了其他情況；對于求解線性規劃的系統是相對于其他三個系統來講解題程序最少的系統，但是學困生依然沒有在頭腦中形成清晰的解題步驟.

（2）學優生與學困生產生式系統知識題與數學解題的相關性分析.

系統1系統2系統3系統4總 分

學優生0.3990.851**0.6290.4700.570

學困生0.1650.834**0.685**0.1990.872**

由上表可以得到學優生數學產生式系統與數學解題能力的相關系數為0.570，學困生數學產生式系統與數學解題能力的相關系數為0.872**，總體相關性系數都很高，說明學優生的產生式系統與數學解題呈顯著正相關，學困生的產生式系統與數學解題關系呈顯著高度正相關.學優生與學困生均在產生式系統2（求通項公式an）與其解相應的數學題的相關性系數最高，均在產生式系統1（解線性規劃）與其解相應的數學題的相關性系數最低，結合剛剛的平均分分析，得到學優生對于系統2掌握得比較差，則其解相應的數學題就比較差，學困生對于系統1掌握得比較差，但其解相應的數學題并不是最差的，學優生的產生式系統差，其數學解題能力不高，學困生在解數學題時并沒有對其進行知識內化和結構化，或許依賴于其解題習慣便能解出相應的題.

（3）典型試題分析.為了更清晰地比較學優生與學困生在數學解題方面對于產生式系統的應用，我們通過觀察來了解這兩類學生的具體解題思路：

例 求函數y=x-1+1(x≥1)的反函數.

學優生：∵x≥1，∴x-1≥0，∴y≥1.

由題已知，得y-1=x-1.

∴(y-1)2+1=x，

∴所求的反函數為y=x2-2x+2(x≥1).

學困生：由題已知，得y-1=x-1，

(y-1)2=x-1，∴x=y2-2y+2.

∴所求的反函數為y=x2-2x+2.

對于這樣一道考查求反函數的解答題，學優生的解法體現了數學產生式系統的獲得，而對于學困生的解法體現了數學產生式系統的缺乏，關于求反函數的數學解題步驟，學困生的回答是：由y=f(x)反解出x=f-1(y)，然后將x，y對調位置；學優生的回答是：首先求出原函數y=f(x)的值域，然后由y=f(x)反解出x=f-1(y)，最后將x，y對調位置并寫出反函數的定義域.學優生與學困生對于這個問題的回答恰好印證了解答題的過程，所以，提高學困生的數學解題能力，就必須先加強學困生的數學產生式系統的獲得.

五、討 論

1.數學產生式系統與解題之間的關系

上述研究表明，數學產生式系統與解題之間存在顯著性相關，說明兩者存在緊密的聯系.解數學題，離不開學習者本身所儲存的大量以“如果……那么”（產生式）表征的程序性知識，如果學習者在頭腦中對這些產生式系統掌握得越牢固，運用自如，就越容易提取題目的相關信息，越容易解答出數學題，而且，由于個體的CPFS結構中聯結各產生式的連線揭示了各個產生式之間的關系，本身就蘊涵著數學思想方法的作息，這就有助于學習者去解決數學題.

2.學優生與學困生產生式系統知識題與數學解題之間的關系

由上述研究結果顯示，學困生的產生式系統與數學解題相關性比學優生的產生式系統與數學解題的相關性要顯著得多.說明，學優生的數學解題能力強并不是完全依賴于數學產生式系統的掌握情況，由多方面因素影響，如分析題目能力強也有可能促使其數學解題能力強，而學困生的數學解題能力對于數學產生式系統的掌握情況依賴程度要比學優生更為明顯.由于個體具有不良的CPFS結構，沒有對產生式進行有效的內化和整合，也就不能順利地應用其來解題.而個體具有優良的CPFS結構，不僅能對產生式進行自我優化和整合，還能通過其來促進分析題目和解決問題的能力，當然解題能力強可以是有多方面的原因，涉及學習者自身的數學理解能力、元認知能力，等等.

六、初步結論及建議

1.結 論

（1）數學產生式系統與解題之間存在顯著性相關.一些學生解決問題時存在困難，關鍵并不在于知識的儲存，而是在于檢索和提取.要使學生面臨問題時能順利地提取所需的知識，應將所學的知識與其應用的“觸發”條件結合起來，形成條件化的知識.即在頭腦里不但應儲存概念、規律、定則等陳述性知識，而且應儲存產生式表征的程序性知識.

（2）學優生的產生式系統與數學解題總體呈顯著正相關，學困生的產生式系統與數學解題呈顯著高度正相關，說明對于學優生而言，產生式系統掌握得越好，數學解題能力就越強，對于學困生而言，產生式系統掌握得越不好，則數學解題能力就越差，在腦中形成越少的產生式，則數學解題就越困難.

（3）對于被測每個系統與相應的數學解題之間均呈顯著正相關，對于學生容易形成產生式系統的知識，學生相應的數學解題能力就越強，對于學生難于形成的產生式系統的知識，學生相應的數學解題就感覺到越困難，在學困生身上更能明顯體現這一點.

2.建 議

（1）數學產生式能將學生頭腦中已有的數學知識條件化，突出了知識運用的“觸發”條件，教師在數學教學實踐中，可以運用產生式系統的思想進行教學，這樣既可以加強知識在頭腦中的記憶，還能增強其靈活性，當解題者需要這些產生式時，就能主動且有效地激活和提取它們.

（2）學困生解數學題時更多是依賴于大腦中所儲存的產生式，若學困生頭腦中儲存的產生式少，或者是缺乏這類產生式系統，那么無法解出題目，所以教師在教學過程中，可以多關注學困生產生式系統的獲得情況，幫助其建立更多的產生式，并對這些產生式進行有效的整合，通過這樣可以更好更有效地提高學困生的解題能力.

（3）對于學生已經獲得的產生式系統，教師可以通過讓學生多解使用這類產生式系統的數學題，這樣可以加固產生式系統的掌握，促進學生解題能力的發展，并且教師還可以對類似的產生式系統進行對比總結，便于學生比較記憶，更準確直接地選擇相應的系統進行解題.

【參考文獻】

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