高三數學備考中的數陣問題

【摘要】數陣問題就是類似于課本中的楊輝三角的“擺陣”，把一些數字，按照一定規律排成若干行和列，形成數陣，以考查數列中的等差、等比數列性質及相關的知識.此類問題能較好地考查到高中數學新課程標準中的合理推理，即考查了學生的觀察、歸納、類比能力.因此我們在高考復習數列時對這類題型要有足夠的重視.

【關鍵詞】高三數學；備考；數列問題

數列是每年高考的必考考點，也是高中數學的重點和難點.在新教材改革以后的高考命題中，數列考題也更加以考查能力為主，而題型也力求合情推理的創新意識為主，當然難度也不會很大.數陣問題就是類似于課本中的楊輝三角的“擺陣”，把一些數字，按照一定規律排成若干行和列，形成數陣，以考查數列中的等差、等比數列性質及相關的知識.本文下面通過幾個例子加以說明.

例1 一個正整數表如下（表中下一行中的數的個數是上一行中數的個數的2倍）：

解析 由數表中的數陣可知表中各行數的個數構成一個以1為首項，公比為2的等比數列，前8行數的個數共有1-281-2=255（個），故第9行中的第4個數是259，選C.

點評 抓住構成數陣的實質，即每一行與行中個數的聯系，使它轉化為求等比數列中某一項的數列問題，便可解決.

拓展1 求第n+1行(n≥3)的第4個數是多少？（答案：2n+3.）

例2 將全體正整數排成一個三角形數陣：

（1）求數陣中前10行所有數的個數及第10行最右邊的數.

（2）求第n行最左邊及最右邊的數.

（3）2007位于數陣的第幾行的第幾個數（從左往右數）？

解析 （1）可以看出數字是蛇行的排列規律，第n行有n個數.則前10行共有1+2+…+10=(1+10)×102=55（個）數.所以第十行最右邊的數也就是這55個數的最后一個數，為55.

（2）同上可知，第n行最右邊的數為1+2+3+…+n=n(n+1)2.第n行最左邊的數比第n-1行最右邊的數大1：1+2+3+…+(n-1)+1=n(n-1)2+1.

（3）題意是求使不等式2007

因為n2+n-4014>0，即n最大為63.

所以2007在第63行，而62行的最后一個數為1953.

所以2007為第63行第（2007-1953=）54個數.

拓展2 （1）按照例2以上排列的規律，第100行從左向右的第3個數為.

（2）按照例2以上排列的規律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數為.（答案：（1）4953.（2）n2-n+62.）

例3 觀察下列三角形數陣

假設第n行的第二個數為an(n≥2，n∈N*).

（1）依次寫出第六行的所有6個數字.

（2）歸納出an+1與an的關系式并求出an的通項公式.

（3）設anbn=1，求證：b2+b3+…+bn<2.

解析 （1）第六行的所有6個數字分別是6，16，25，25，16，6.

（2）依題意an+1=an+n(n≥2)，a2=2，

點評 本題（1）則是給基礎薄弱學生拿分的.（2）考查到了an+1與an的關系，學生很容易由課本上的推導等差數列的通項公式方法去解得.（3）中綜合考查了數列求和方法中的裂項相消法的運用及不等式的放縮法的運用，體現了數學知識的綜合性.本題入手易，難度逐層加大，既考查到了考綱的要求，又有一定的思維量.

拓展3 已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1，a2，a3，…，an組成等差數列，n為正偶數，又f(1)=n2，f(-1)=n.

（1）求數列{an}的通項公式.

（2）將數列{an}的各項排成三角形狀（如圖），記A(i，j)為第i行第j個數，例如，A(4，3)=a9，求A(10，1)+A(10，2)+…+A(10，10)的值.

解析 （1）由f(1)=n2，得a1+a2+a3+…+an=n2.①

由f(-1)=n，得-a1+a2-a3+…+an=n.②

由①②，得a1+a3+…+an-1=n2-n2，③

a2+a4+…+an=n2+n2.④

設公差為d，以上兩式相減，得n2d=n，∴d=2.

又a1=1，∴an=2n-1.

（2）第10行前（不包括第10行）共（1+2+3…+9=）45個數.

∴A(10，1)=a46=2×46-1=91，

A(10，2)=a47=2×47-1=93，

A(10，3)=a48=2×48-1=95.

即A(10，1)，A(10，2)，…，A(10，10)是以首項為91，公差為2的等差數列.

∴A(10，1)+A(10，2)+…+A(10，10)=10a46+12×10×9×d=1000.

例4 觀察下表：

（1）求此表中第n行的最后一個數.

（2）求此表中第n行的各個數之和.

（3）2009是此表中第幾行的第幾個數？

解析 （1）第n+1行的第一個數是2n，故第n項的最后一個數是2n-1.

（2）第n項的各數之和為：

∴2009在表中的第11行，該行的第一個數為210=1024，2009-1024+1=986，即2009為第11行的第986個數.

點評 本題（1）的切入點是每一行的最后一個數，問題（1）就很容易解出了.而（2）則要抓住每一行的第一個數與最后一個數的聯系也較容易解出.

拓展4 （2010年浙江文數14）在如下數表中，已知每行、每列中的樹都成等差數列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的數是.（答案：n2+n.）

從以上的幾個例子可以看出，數陣問題的題目新穎，靈活多變，可以三角陣、數表、坐標等形式出現，這就要求我們高三教師在備考時要做足功課，對于這類問題要找準解題的切入點，分析數據，尋找其中隱藏的信息，探索數字的排列規律，從特殊到一般，綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法，從而可以解決這類數陣問題.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文