對中學概率乘法計算中一個問題的探討

【摘要】中學數學教學中概率乘法只能選擇相互獨立事件的題目來講解.文中對于一個存在解法爭議的題目的解法提出自己的解法.同時對于在教學或考試中的一類題目提出了能在中學教學中應用的分析方法.

【關鍵詞】中學數學教學；概率乘法計算

數學通報中的一篇論文《概率計算中概率乘法問題的商榷》（以下簡稱為文①），對于中學概率乘法計算中的問題提出了自己的解釋和疑問，本人也想對文中提出的問題作出自己的解釋，以供商榷.

一、問題回顧

文①提到的2006年北京市數學高考試卷（理工農醫類）第18題及其參考答案：

某公司招聘員工，制定三門考試課程，有兩種考試方案.

方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；

方案二：考試三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.

假設某應聘者對三門制定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.

（1）分別求該應聘者用方案一和方案二考試通過的概率；

（2）……

解 （引自參考答案）……

應聘者用方案二考試通過的概率

P2=13ab+13bc+13ac.

由此提出三個觀點：（1）由于在選出課程A，B、B，C及A，C的條件下，所選出的兩門課程都及格（考試通過）的概率分別為ab，bc，ac，所以事件“選取兩門課程”與事件“考試及格”是不獨立的，因此不能用“獨立事件的概率乘法定理”來解釋.（2）若按第二個方案，將考試通過分為三個互斥事件.即選出事件A，B且通過，選出事件B，C且通過，選出事件A，C且通過.由于選出課程A，B且通過可以分為兩步，第一步選出課程A，B（概率為13），第二步選出課程A，B且通過（概率為P（AB）=ab），所以選出課程A，B且通過的概率為13ab.類似地，選出課程B，C且通過的概率為13bc，選出課程A，C且通過的概率為13ac.以此來解釋概率P（AB）=ab顯然毫無道理.（3）本題應該用條件概率的乘法公式來解.解法如下：

設事件D為“考試及格”，事件A，B，C分別表示選出課程A，B和C，則選出課程A，B，用AB表示（其他情況可類似地表示），且考試及格的概率為

P［(AB)D］=P(AB)#8226;(D|AB)=13ab.

同理有P［(BC)D］=P(BC)#8226;(D|BC)=13bc，

P［(AC)D］=P(AC)#8226;(D|AC)=13ac.

于是得方案二考試通過的概率為

P2=P［（AB）D+(BC)D+(AC)D］=13ab+13bc+13ac.

文①又提到中學數學教師交流時被較為廣泛使用的一個例題及其解答：

某種電路開閉合后，會出現閃動的紅燈或綠燈.已知開關第一次閉合，出現紅燈和綠燈的概率都是12，從第二次閉合起，若前次出現紅燈，則下次出現紅燈的概率是13，出現綠燈的概率是23；若前次出現綠燈，則下次出現紅燈的概率是35，出現綠燈的概率是25.記開關第n次閉合后出現紅燈的概率為Pn.

（1）求P2.

（2）……

文章作者認為此題也應該應用條件概率的乘法公式來解.（解略）

二、本文觀點

針對上面的問題，本人提出如下的觀點：

（1）兩題應用條件概率的乘法公式來解是正確的.（2）如上提到的第一題是可以應用獨立事件的乘法公式解的，而第二題不可以.（3）應用類似于分步原理的方法來解概率題是沒有理論依據的，同樣應用分步原理來分析的題，有些可用獨立事件的乘法公式解，而另一些只能用條件概率的乘法公式來解，如上兩題.（4）如上第一題中P（AB）=ab是無須解釋的.因為題目中“假設某應聘者對三門制定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.”即題目中給出了事件A，B，C之間的相互獨立，因而P（AB）=ab一定成立.

文①中題目用獨立事件的乘法公式解的解法如下：

解 用第二個方案，則事件“通過考試”=“選擇課程A，B且通過考試”+“選擇課程A，C且通過考試”+“選擇課程B，C且通過考試”=“選擇課程A，B且通過A，B課程考試”+“選擇課程A，C且通過A，C課程考試”+“選擇課程B，C且通過B，C課程考試”.

而事件“選擇課程A，B且通過A，B課程考試”與“選擇課程A，C且通過A，C課程考試”及“選擇課程B，C且通過B，C課程考試”彼此互斥.

而事件“選擇課程A，B且通過A，B課程考試”=“選擇課程A，B”#8226;“通過A課程考試”#8226;“通過B課程考試”，這三個事件彼此獨立，其概率為13ab.

類似可推另兩個事件的概率分別為：13bc和13ac.

于是可得按方案二而通過考試的概率為：

P2=P［(AB)D+(BC)D+(AC)D］=13ab+13bc+13ac.

綜上所述，本文提出如下的觀點：（1）當題目中或在生活中可以認定為兩事件發生的概率互相沒有影響時，即可認定為兩事件相互獨立，可以應用獨立事件的概率乘法公式.如果不能如此確定的話，教學中基本的題型都無法進行了.如文①中提到“三門課程考試是否及格相互之間沒有影響”，因此，P（通過課程A，B）=P（AB）=ab，無須解釋或證明.（2）分步原理是排列組合中的基本原理，但顯然不能用于概論乘法應用的分析.（3）在中學概率教學中引入相應的例題是可以也是應該的，因為正確的選擇、講解和練習，顯然對培養學生的理解和應用能力有好處，使學生對于相關概念能夠更好的理解和應用.但在選擇題目時必須選擇可以應用獨立事件概率乘法公式的例題.并在教學中講清其應用方法.而對于不能應用獨立事件概率乘法公式的例題則不能選做例題，除非增加條件概率等相應知識的講解.上文中對于題目的解答是在應用事件運算分析后，充分利用了互斥、獨立等相關概念，才得以順利應用中學數學中相關的互斥和獨立的概念來解題.關鍵是找出“選出課程A，B”與“課程A和B的考試都通過”是相互獨立的，從而得到題目的解.實質上是全概公式中，對于P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)中，P(B|Ai)可以用其他概念代替的情況下的題目可以放入中學數學教學，反之則不可.如文①中的第一題在現在的教學內容要求下可用，而第二題不可用.因為“選出課程A，B且通過”的概率等于“通過課程A，B的考試”的概率.因而可以不用條件概率的概念.而在第二題中，“若前次出現紅燈，則下次出現紅燈的概率是13”只能是條件概率.兩種情況在教學中不可混淆，此乃關乎教學的科學與嚴謹性的大事.

【參考文獻】

［1］人民教育出版社中學數學室編著.全日制不同高級中學教科書數學［M］.北京：人民教育出版社，2004.

［2］馬恩林.概率計算中概率乘法問題的商榷［J］.數學通報，2007（8）：55-56.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文