點動成圓 展現精彩

【摘要】圓是到定點距離等于定長的點的集合，這就是圓的集合型定義.本文對圓的集合型定義在硬幣滾動問題、梯子問題、動點求范圍問題、折疊問題等四個方面的應用作初步探討，并揭示出此類問題出現的核心特征，以期與同行共享.

【關鍵詞】圓；集合型定義；解題

數學新課程標準強調“義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧的發展”.蘇科版九年級（上冊）數學教材對圓的定義的闡述無疑是科學、睿智的.文中首先從運動的角度對圓進行了定義，然后又以操作與思考的形式，由學生探索得出“圓上各點到圓心（定點）的距離都等于半徑（定長），到圓心距離等于半徑的點都在圓上，也就是說，圓是到定點的距離等于定長的點的集合”.教材從元素的集合角度對圓作了一個定義，不妨稱作圓的集合型定義.集合是高一數學學習函數與集合的基礎，圓的集合型定義更是高二研究圓的方程的基礎.因此，圓的集合型定義在初中階段起到承上啟下的作用，是促進“學生可持續發展”理念的生動體現.

一、圓的集合型定義在硬幣滾動問題中的應用

例1 取兩枚大小相同的硬幣，半徑為r，將其中一枚固定在桌子上，另一枚沿著固定硬幣滾動一周，那么滾動的硬幣圓心經過的距離是多少？自身轉動了幾圈？

圖 1

圖 2

解析 如圖1，不妨假設⊙A是固定的硬幣，⊙B繞其滾動一周.因為點B到定點A的距離是定長（2r），根據圓的集合型定義，點B形成的是以A為圓心2r為半徑的圓（如圖2），圓心經過的距離為2π#8226;2r=4πr.類比硬幣在直線上的滾動可知：硬幣滾動一周，圓心經過的距離等于圓的周長，滾動n周，圓心經過的距離等于圓周長的n倍，所以本題自身轉動了4πr2πr=2（圈）.

評析 硬幣滾動問題很有趣，不僅與圓的知識聯系緊密，而且取材于學生身邊，易于學生操作實踐，也更能培養學生的創造性思維及實驗探究的能力.本題也可以做一個拓展：如果固定的硬幣半徑是運動硬幣半徑的m倍，那么滾動的硬幣自身則轉動了(m+1)圈.

二、圓的集合型定義在類梯子問題中的應用

例2 （2009年桂林百色）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，將長為2的線段QR的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時滑動.如果Q點從A點出發，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動到A止，同時點R從B點出發，沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動到B止，在這個過程中，線段QR的中點M所經過的路線圍成的圖形的面積為().

解析 因為M為QR中點，∠B=90°，所以當Q從A向B運動過程中，始終有BM=12QR=1，也就是說動點M到定點B的距離始終等于一個定長1.根據圓的集合型定義，這里M運動形成的圖形是以B為圓心，1為半徑的四分之一圓，同理，整個運動過程中，M便形成四個四分之一圓（如圖4所示），因此所求面積為4-π.

評析 本題源于蘇科版八年級上冊一道課后習題，梯子在沿墻角下滑的過程中，梯子的長度保持不變，梯子中點到墻角頂點的距離始終是梯子的一半.解決的關鍵是能夠發現Q點從A到B的運動過程中，點M與點B的距離是定長這樣一個本質，從而巧妙運用圓的集合型定義解決問題.此類“梯子問題”取材于生活實際，更好地體現出“數學來源于生活、應用于生活”的新課程理念，是中考的熱點之一.

三、圓的集合型定義在動點求范圍問題中的應用

例3 （2010年河南省）如圖5，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6.點D在AB邊上，點E是BC邊上一點（不與點B，C重合），且DA=DE，則AD的取值范圍是.

解析 因為DA=DE，所以由圓的集合型定義可知：點E必在以D為圓心，DA為半徑的⊙D上.又因為點E是BC邊上一點（不與點B，C重合），所以E點實質為⊙D與線段BC的交點.于是只需滿足⊙D與線段BC（不含端點）相切或相交.當⊙D與BC相切時(如圖6)，顯然DE⊥BC，不妨設ED=AD=x，因為∠ABC=30°，所以DE=12BD，即x=12(6-x)，x=2.又因為當⊙D與BC交于B，C兩點時，AD=3，所以AD的取值范圍是2≤DA<3.

評析 本題在直角三角形中考查了圓的定義、圓與直線相切、相交的知識，同時用圓的觀點解決了動點求范圍的問題，運用了轉化以及方程的數學思想.這種題型的訓練無疑對學生的探究能力的提高大有幫助.

四、圓的集合型定義在折疊問題中的應用

折疊問題來源于傳統平面幾何，又高于傳統平面幾何，能夠有效地將方程、函數、全等、相似等數學知識有機地融合在一起，拓寬學生的思維空間.此類考題也更能夠從多方面地考查學生對數學知識、能力、思想方法的掌握程度.

例4 在矩形ABCD中，AB＝14，BC＝8，E在線段AB上，F在射線AD上.

（1）沿EF翻折，使A落在CD邊上的G處(如圖7)，若DG＝4.

①求AF的長；

②求折痕EF的長.

（2）若沿EF翻折后，點A總在矩形ABCD的內部，試求AE長的范圍.

（2）如備用圖，在折疊過程中，不妨假設E點不動，A的落點記為A′，那么不論折痕如何變化，始終有A′E=AE，也就是說，動點A′到定點E的距離始終等于定長AE，因此根據圓的集合型定義，A′運動所形成的是以E為圓心，AE為半徑的圓.當然，本題中要求點A總在矩形ABCD的內部，這樣的圓只能是上半部分的半圓了，并且半圓的直徑不大于AB長，即2AE≤AB，所以0

評析 本題是2009年江蘇省中考數學統一考試背景下，泰州市一模考試第27題，用圓的定義來解決折疊問題，角度較新.筆者參與了當時全市統一的網上閱卷，發現本題尤其是第二問，得分率非常低，回校后與學生交流得知絕大多數學生對這一題的感覺是無從下手，這與平時所做的一些折疊問題不太一樣.如果能夠轉換思維角度，用圓的集合型定義來解決的話，就會峰回路轉.

以上例題大多數是動點問題，考查的要求都很高，但運用圓的集合型定義就能夠另辟蹊徑，點動成圓大秀精彩.因為這些動點在運動變化過程中都蘊含著不變的本質——到一個定點的距離等于定長，解決這類問題時只要能夠尋找出這個核心本質，就能以不變應萬變.倘若我們教者在平時的教學中能夠注意引導學生，啟發思維，激發想象力，必定能夠更好地培養學生的數學思維和創新能力.

【參考文獻】

［1］蔡建鋒.探索幾何圖形折疊問題的源頭及其發展趨勢［J］.中國數學教育（初中版），2010（7/8）：62-65.

［2］中華人民共和國教育部制定.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）［M］.北京：北京師范大學出版社，2001.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文