函數中的恒成立問題解法初探

【摘要】“恒成立”問題是高中數學中常見的問題，涉及一些基本初等函數的性質和圖像，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等數學思想方法，對培養學生思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用.筆者就函數中的恒成立問題通過幾個典型例子的求解闡述了自己總結的方法與技巧.

【關鍵詞】恒成立；最值；分離變量；構造函數；數形結合

恒成立問題是高中生在學習數學過程中經常遇到的一類問題，它往往會跟求參數的范圍聯系在一起，學生在處理時錯誤頻出，考試中得分也不高，令很多同學感到頭疼.究其原因，主要是學生沒有把握這類問題的實質和掌握解決問題的方法.如果我們能夠掌握這一常見問題的處理方法，無論今后以什么載體出現我們都會輕松應對.所以筆者針對函數中的恒成立問題，進行了一些研究，產生了一些拙見.本文主要是以教學中遇到的幾個典型例題求解為例，總結了解決這一類問題的一些方法與技巧，不足之處，懇請大家斧正.

“恒成立”問題可以以很多基本初等函數為載體，會涉及許多常見基本初等函數的圖像和性質，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，能積極培養學生思維的靈活性和創造性，因此也成為歷年高考的一個熱點.恒成立問題在處理過程中大致可分為以下幾種方法：①函數最值法；②變量分離法；③數形結合法等等.

一、利用函數最值法求解恒成立問題

對于給定函數f(x)，若要使得f(x)>0在x∈D上恒成立，則必須滿足f(x)min>0在x∈D上恒成立；同樣若要使得函數f(x)<0在x∈D上恒成立，則必須滿足f(x)max<0在x∈D上成立.這就是用函數最值法求解恒成立問題的基本思路.我們以常見兩個基本函數為例來說明這種方法的應用.

1.以一次函數為載體的恒成立問題

例1 命題：“若x∈［-1，2］，則(m+1)x+4m-3>0”為真命題，求實數m的取值范圍.

分析 設函數f(x)=(m+1)x+4m-3，則命題等價于當x∈［-1，2］時，f(x)>0恒成立；也就是說，只要使得f(x)在區間［-1，2］上的最小值大于零即可.由一次函數的圖像可知，f(x)在區間［-1，2］上的最小值只能是在兩個端點處取得.

解 由題意得到f(-1)>0，f(2)>0，解得m>43.

∴所求實數m的取值范圍是43，+∞.

變式 若m∈(0，3)，函數f(x)=(m-2)x-2m+1<0恒成立，求實數x的取值范圍.

分析 此題若把它看成是關于x的一次函數，則只需求出當m∈(0，3)時，函數的最大值小于零即可.但由于m，x的值都在變，求函數f(x)的最大值困難較大，因此思路受阻.由于條件已知的是實數m的范圍，求實數x的范圍，倘若視m為主元，將x視為參數，則給解題帶來轉機.因此可以通過變更主元的方法轉化為例題類型來求解.

解 設函數g(m)=(x-2)m-(2x-1).

依題意，得g(0)≤0，g(3)≤0，解得12≤x≤5.

規律1 “給定一次函數f(x)=g(t)x+h(t)，(g(t)≠0，其中g(t)，h(t)是關于參數t的函數），若y=f(x)在給定區間［m，n］內恒有f(x)>0，求參數t的取值范圍.”這一類問題可根據一次函數y=f(x)的圖像得到等價條件a(t)>0，f(m)>0或a(t)<0，f(n)>0，也可以合并成f(m)>0，f(n)>0.對于f(x)<0時類比可得相關結論.

2.以二次函數為載體的恒成立問題

根據題目特點構造二次函數，結合二次函數最值情況以及實根分布等相關知識，求出參數取值范圍.

例2 若不等式(a-1)x2+(a-1)x+2>0的解集是R，求實數a的范圍.

分析 原命題等價于“當x∈R時，(a-1)x2+(a-1)x+2>0恒成立”.由于二次項系數含有參數a，因此必須要先討論二次項系數a-1是否為0.

解 （1）當a-1=0，即a=1時，不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

（2）當a-1≠0時，只需a-1>0，Δ=(a-1)2-8(a-1)<0，解得a∈［1，9).

規律2 設函數f(x)=ax2+bx+c，(a≠0).

（1）f(x)>0在x∈R上恒成立a>0且Δ<0；

（2）f(x)<0在x∈R上恒成立a<0且Δ<0.

上述問題也可歸結為判斷函數f(x)的最大值（最小值）與零的大小關系.

變式 不等式x2+px+1>p-2x在x∈(1，+∞)恒成立，求參數p的范圍.

解法1 原不等式轉化為f(x)=x2+(p+2)x+1-p>0在x∈(1，+∞)時恒成立.

①當Δ=(p+2)2-4(1-p)<0時，即-80恒成立，從而在所給范圍上也成立；

②當Δ=(p+2)2-4(1-p)≥0時，結合二次函數圖像可得以下充要條件：

Δ≥0，f(1)≥0，-p+22≤1，解得p≥0.

綜合可得p的取值范圍是(-8，+∞).

解法2 原不等式(x-1)p>-(x2+2x+1).

∵x>1，∴x-1>0.

則p>-x2+2x+1x-1=-(x-1)2+4(x-1)+4x-1=-(x-1)+4+4x-1.

∵(x-1)+4x-1+4≥4+2(x-1)×4x-1=8，

∴-x2+2x+1x-1≤-8，

當且僅當x=3時取等號，∴p>-8.

同樣是以二次函數為載體，但由于給定的x范圍不同，就不能簡單的考慮判別式與零的大小關系了.解法1體現了最值求解，但同樣要結合圖像來得到等價條件；解法2用到了變量分離，但前提建立在變量容易分離的基礎之上.因此對于不同的題目要根據所給的條件選擇恰當的方法，不能一概而論.

辨析題組 （1）當x∈(-1，1)時，不等式x2-ax+1<0恒成立，求實數a的范圍.(2)當x∈(-1，1)時，不等式x2-ax+1>0恒成立，求實數a的范圍.(3)當a∈(-1，1)時，不等式x2-ax+1>0恒成立，求實數x的范圍.

分析 設函數f(x)=x2-ax+1，問題（1）可以利用函數f(x)在區間(-1，1)上的最大值不大于零來求得參數a的范圍，并且由于函數f(x)是開口向上的二次函數，因此符合條件的最大值只會是在端點處取得，從而問題得解；問題（2）形式與（1）相似，雖然解法也可以借用上面的方法，但是在求函數f(x)在區間(-1，1)上最小值時，討論比較復雜，學生覺得困難，可采用分離參數的方法處理；問題（3）應該仿照例題1的變式，通過變更主元，將所給問題轉換為一次函數的恒成立問題來處理.

二、利用分離參數的方法求解恒成立問題

規律3 一般地，利用分離參數法來確定不等式f(x，λ)≥0（x∈D，λ為實參數)恒成立中參數取值范圍的基本步驟是:

（1）將參數與變量分離，即化為f1(λ)≥f2(x)［或f1(λ)≤f2(x)］的形式；

（2）求f2(x)在x∈D時的最大（或最小）值；

（3）解不等式f1(λ)≥f2(x)max（f1(λ)≤f2(x)min），得λ的取值范圍.

分離參數法可以將不等式中的恒成立問題轉化為求函數最值問題.當然其前提條件是：（1）參數與變量能分離；（2）函數的最值易求出.

例3 已知函數f(x)=x3+ax2+bx+2與直線4x-y+5=0切于點P(-1，1).（1）求實數a，b的值；（2）若x>0時，不等式f(x)≥mx2-2x+2恒成立，求實數m的取值范圍.

解 （1）a=b=-1.（過程略）

(2)不等式x3-x2-x+2≥mx2-2x+2可轉化為mx2≤x3-x2+x.

∵x>0，∴m≤x3-x2+xx2=x+1x-1.

令g(x)=x+1x-1，要使上式恒成立，則m≤g(x)min.

∵g(x)≥2x×1x-1=1，

當且僅當x=1時取等號，∴m≤1.

例4 已知函數f(x)=(x+1)lnx-x+1.若xf′(x)≤x2+ax+1，求a的取值范圍.

解 f′(x)=lnx+x+1x-1=lnx-1x.

將不等式xlnx-1x≤x2+ax+1轉化為ax≥xlnx-x2.

∵x>0，∴a≥lnx-x.

令g(x)=lnx-x，要使得a≥lnx-x恒成立，則a≥g(x)max.

令g′(x)=1x-1=1-xx=0，得x=1.

當00，y=g(x)單調遞增；

當x>1時，g′(x)<0，y=g(x)單調遞減.

∴當x=1時，g(x)取得最大值g(1)=-1，∴a≥1.

三、利用數形結合方法求解恒成立問題

某些含參不等式恒成立問題，既不能分離參數求解，又不能轉化為某個變量的一次或二次函數時，通過數形結合的方法往往能夠起到出其不意的效果.我們在解題時，可以有意識地去認識、挖掘和創造題目中所包含的直觀形象，變抽象為直觀，充分運用直感，由數思形，以形輔數，借助圖像的上下關系來解決恒成立問題.對于這一類問題，我們可以先把不等式（或經過變形后的不等式）兩端的式子分別看成兩個函數，且畫出兩函數的圖像，然后通過觀察兩圖像（特別是交點時）的位置關系，從而列出關于含參數的不等式.

規律4 f(x)>g(x)對一切x∈［a，b］恒成立x∈［a，b］時，f(x)的圖像在g(x)的圖像的上方.同理，f(x)

若求解的題目中涉及等號問題，則需要考慮特殊點以及特殊位置.

例5 如果對任意實數x，不等式|x+1|≥kx恒成立，則實數k的取值范圍是.

分析 畫出函數y=|x+1|，y=kx的圖像，由圖可看出0≤k≤1.

例6 不等式x2-ax-2≤0對x∈［-1，1］恒成立，求a的范圍.

解 不等式x2-ax-2≤0對x∈［-1，1］恒成立ax≥x2-2對x∈［-1，1］恒成立.

記函數h(x)=x2-2，φ(x)=ax，則ax≥x2-2對x∈［-1，1］恒成立當x∈［-1，1］時，y=h(x)圖像不高于y=φ(x)圖像.

由圖形分析可知-1≤a≤1.

小結 在題目給定條件下，將參數分離，運用數形結合思想，結合圖形的直觀性確定參數的范圍，這一種解法特別適用于選擇題或填空題.

“恒成立問題”可以以集合、函數、不等式、數列、圓錐曲線、簡單幾何體等任一部分的知識為載體構建出不同類型的問題，掌握了函數中恒成立問題的處理方法，對其他的類型也有借鑒作用.當然這一類問題的求解策略還有許多，而且對于某些“恒成立”問題，可以運用以上介紹的各種方法來解決.這就要求我們養成良好的數學思維，有良好的觀察與分析問題的能力，靈活的轉化問題能力，使所見到的“恒成立”問題更有效地解決.

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