怎樣突破第一類換元積分法

【摘要】文章闡述了怎樣突破第一類換元積分法的途徑及方法，并且通過舉例歸納了第一類換元積分法的基本方法及積分技巧.

【關(guān)鍵詞】基礎(chǔ)知識；套用公式；積分方法；積分技巧

第一類換元積分法是計(jì)算積分的重要方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，往往難以掌握.如何在教學(xué)中給以突破，是值得探討的問題.下面談一點(diǎn)粗淺看法.

要突破第一類換元積分法，就必須掌握以下幾方面的知識.

一、必須熟練掌握的基礎(chǔ)知識

首先，熟記導(dǎo)數(shù)公式，因?yàn)榍髮?dǎo)數(shù)與積分互為逆運(yùn)算，例如，(tanx)′=sec2x，∫sec2xdx=tanx+C.其次，將微分公式倒著熟記，并且掌握一些常用的湊微分形式，例如，cosxdx=dsinx，dx=d(x+c)=1a(ax+b)，xdx=12ad(ax2+C)，1xdx=2d(x)等等.再次，順記十三個(gè)積分公式，例如，∫1x2+1dx=arctanx+C.并且，熟記輔助公式：∫1x2dx=-1x+C及∫12xdx=x+C.掌握以上的知識后，就為學(xué)生突破第一類換元積分法奠定了基礎(chǔ).

二、必須理解的結(jié)構(gòu)知識

1.理解導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系

若［F(x)］′=f(x)，則有∫f(x)dx=F(x)+C.

2.熟悉第一類換元積分法的結(jié)構(gòu)

設(shè)f(u)具有原函數(shù)，u=φ(x)可導(dǎo)，則有換元公式

∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du」u=φ(x).

三、必須積累的經(jīng)驗(yàn)積分知識

1.將微分公式逆用，對被積函數(shù)變形，變得與十三個(gè)積分公式中的某一個(gè)很類似，然后照公式套

例1 ∫2xex2dx.

2.將被積函數(shù)作適當(dāng)變形，歸類、分析，再照公式套

若被積函數(shù)為1(x-a)(x-b)，則將被積函數(shù)分解為“和”或“差”的形式，讓分子不出現(xiàn)積分變量.

總之，第一類換元積分法含有許多技巧，我們要掌握此法，不但要熟記基本公式，還要掌握一些湊微分形式，通過練習(xí)，積累積分經(jīng)驗(yàn).

【參考文獻(xiàn)】

［1］同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué).北京：高等教育出版社，2004.

［2］中學(xué)數(shù)學(xué)解題途徑.上海：華東師大出版社，1982.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文