例談分式方程的無解與增根

【摘要】 在初中分式方程的教學中，我們常常會碰到分式方程無解與增根的情況. 從本人的教學中觀察，大部分學生對于增根與無解這兩個概念認識不清，他們總認為這兩個概念是一回事，其實并不是這樣. 下面，結合具體事例談一談這一類型習題的解法.

【關鍵詞】 初中分式方程；教學；分式方程無解與增根

我們應該知道，在解分式方程的有關問題時，我們首先是把分式方程轉化為整式方程來解. 那么，我們就從整式方程切入.

一、轉化后的整式方程本身就無解

當我們把分式方程轉化為整式方程時，若這個整式方程本身就解不出未知數的值，那么原分式方程肯定就無解.

1. 當所化的整式方程為一元一次方程時

例1 解方程 = 1.

解 去分母，得ｘ ＋ １ ＝ ｘ，

移項、合并同類項，得０·ｘ ＝ －１.

顯而易見，我們求不出任何ｘ的值，使它與零相乘等于－１．

∴ 此方程無解.

2. 當所化的整式方程為一元二次方程時

例2 解方程 - 3.

解 去分母，得3x2 ＋ ２０ ＝ 2x - 4 - 3x2 + 12，

移項、合并同類項，得6x2 - 2x + 12 = 0，

即3x2 - x + 6 = 0.

∵ Δ ＝ １ － ４ × ３ × ６ ＜ ０，

∴ 此方程無解，

∴ 原方程無解.

３. 所化的整式方程為絕對值方程時

例3 解方程 = ３.

解 去分母，得－６ ＝ ３｜ｘ｜ － ３，

移項、合并同類項，得｜ｘ| ＝ －１.

由于絕對值具有非負性，故此絕對值方程無解.

∴ 原方程無解.

二、分式方程產生增根時無解

要弄清這個問題，我們首先要了解為什么分式方程會產生增根. 因為我們在把分式方程轉化為整式方程的變形過程中，方程兩邊同時乘了一個可能使分母為零的整式，從而擴大了未知數的取值范圍而產生未知數的值.

例4 解方程解 去分母，得y - 3 + 1 = 4 - y，

移項、合并同類項，得2y ＝ ６，

解得y ＝ ３.

檢驗：把y ＝ ３代入最簡公分母y － ３時，y － ３ ＝ ０.

∴ y ＝ ３是原方程的增根.

∴ 原方程無解.

但教學中我們還應注意的是，有時分式方程有增根，但原方程也不一定就無解.

例5 解方程去分母，得x2 + x - 2x + 2 = 4.

得x1 = 2，x2 = -1.

檢驗：把x ＝ －１代入最簡公分母x２ － １，得

x２ － １ ＝ （－１）２ － １ ＝ ０，

∴ x = -1是增根.

把x = 2代入最簡公分母x２ － １，得x2 - 1 = 22 - 1 = 3 ≠ 0，

∴原方程的根為x = 2.

解6 解方程 ＝ ３.

去分母，得x - 1 = 3|x + 1| - 6.

移項、合并同類項，得3|x + 1| = x + 5，

解得x1 = 1，x2 = -2.

檢驗：當x = 1時，最簡公分母|x + 1| - 2 = 0，

∴ x = 1是原方程的增根.

當x = -2時，最簡公分母|x + 1| - 2 = 1 - 2 = -1 ≠ 0.

∴原方程的根為x = -2.

綜合后三個例子我們可以得到：解分式方程必須驗根，把方程的解代入最簡公分母，使最簡公分母等于零的是原方程的增根，最簡公分母不為零時原方程就有解.

總的來講，分式方程的無解包含兩個方面：一是原分式方程化為整式方程時本身就無解；二是原分式方程化為整式方程后有解，但此解使原分式方程的最簡公分母為零，則原分式方程也無解. 在以后的教學中一定要引起我們廣大師生的高度關注.