例談特殊值法在初中數(shù)學(xué)解題中的作用

【摘要】 特殊值法在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用和重要的作用. 它可巧妙地解選擇題和填空題，可快捷地尋求解題思路，可簡捷地檢驗(yàn)化簡題和規(guī)律題.

【關(guān)鍵詞】 特殊值法；數(shù)學(xué)解題；作用

所謂特殊值法，就是根據(jù)問題所給出的全部信息，通過觀察分析，在條件允許的范圍內(nèi)選取合適的某個(gè)特殊數(shù)值、特殊點(diǎn)、特殊位置或某個(gè)特殊圖形等，經(jīng)過簡單的推理、判斷或計(jì)算就得出問題的正確答案的方法. 特殊值法在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用和重要的作用.

一、用特殊值法，巧妙地解選擇題和填空題

選擇題和填空題是一類只注重結(jié)果而不需要寫出必要的文字說明、解題過程或推演步驟的特殊題型. 根據(jù)這一特點(diǎn)，可選擇符合條件的特殊值，用特殊值法探求題目的答案，以避免繁瑣的計(jì)算和推理，巧妙而簡捷.

例１ （２０１１綿陽）若ｘ１，ｘ２（ｘ１ ＜ ｘ２）是方程（ｘ － ａ）（ｘ － ｂ） ＝ １（ａ ＜ ｂ）的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)ｘ１，ｘ２，ａ，ｂ的大小關(guān)系為（ ）.

Ａ. ｘ１ ＜ ｘ２ ＜ ａ ＜ ｂＢ. ｘ１ ＜ ａ ＜ ｘ２ ＜ ｂ

Ｃ. ｘ１ ＜ ａ ＜ ｂ ＜ ｘ２Ｄ. ａ ＜ ｘ１ ＜ ｂ ＜ ｘ２

解析 用通法解，整理方程，得ｘ２ － （ａ ＋ ｂ）ｘ ＋ ａｂ － １ ＝ ０，由求根公式，得從而得ｘ１＞ ｂ，因此應(yīng)選Ｃ. 對九年級的學(xué)生來說，這種解法計(jì)算繁瑣，還不容易得出ｘ１，ｘ２，ａ，ｂ的大小關(guān)系. 如果用特殊值法，就容易了. 可令ａ ＝ ０，ｂ ＝ １，得到方程ｘ２ － ｘ － １ ＝ ０，解得ｘ１ 所以應(yīng)選Ｃ.

例２ （２０１１成都）在三角形紙片ＡＢＣ中，已知∠ＡＢＣ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ６，ＢＣ ＝ ８. 過點(diǎn)Ａ作直線l平行于ＢＣ，折疊三角形紙片ＡＢＣ，使直角頂點(diǎn)Ｂ落在直線l上的Ｔ處，折痕為ＭＮ．當(dāng)點(diǎn)Ｔ在直線l上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)Ｍ，Ｎ也隨之移動(dòng)．若限定端點(diǎn)Ｍ，Ｎ分別在ＡＢ，ＢＣ邊上移動(dòng)，則線段ＡＴ長度的最大值與最小值之和為＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .（計(jì)算結(jié)果不取近似值）

解析 這道題按通法來解，給人無從下手之感. 因?yàn)檎酆鄣亩它c(diǎn)Ｍ，Ｎ分別限定在ＡＢ，ＢＣ邊上移動(dòng)，所以可取特殊位置用特殊值法來求解. 當(dāng)點(diǎn)Ｍ與點(diǎn)Ａ重合時(shí)，如圖１，線段ＡＴ有最大值為６；當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖２，線段ＡＴ有最小值為二、用特殊值法，快捷地尋找解題思路

結(jié)論待定的運(yùn)動(dòng)性題是一類只清楚運(yùn)動(dòng)范圍而結(jié)論不明的特殊題型. 根據(jù)這一特點(diǎn)，可化動(dòng)為靜選取運(yùn)動(dòng)到某一特殊位置，用特殊值法來求解，從而有效地克服無從下手和思路不明的情形，快捷而清晰地尋找到解題思路.

例３ （２０１１樂山）如圖3，在Rt△ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足為Ｄ，點(diǎn)Ｅ在ＡＣ上，ＢＥ交ＣＤ于點(diǎn)Ｇ，ＥＦ⊥ＢＥ交ＡＢ于點(diǎn)Ｆ，若ＡＣ ＝ ｍＢＣ，ＣＥ ＝ ｎＥＡ（ｍ，ｎ為實(shí)數(shù)），試探究線段ＥＦ與ＥＧ的數(shù)量關(guān)系．

解析 這道題給人結(jié)果不明和無從下手的感覺. 根據(jù)ＡＣ ＝ ｍＢＣ，ＣＥ ＝ ｎＥＡ（ｍ，ｎ為實(shí)數(shù)），可以用特殊值法來尋求結(jié)論和解題思路. 肯定存在ｍ ＝ １，ｎ ＝ １這種特殊情況，此時(shí)過Ｅ作ＥＮ⊥ＣＤ于Ｎ，ＥＭ⊥ＡＢ于Ｍ，易證△ＥＦＭ≌△ＥＧＮ，從而得出ＥＦ ＝ ＥＧ. 也必定存在當(dāng)ｍ ＝ １，ｎ為任意實(shí)數(shù)這種情況，受其啟發(fā)容易想到通過證△ＥＦＭ∽△ＥＧＮ來求解，易求得ＥＦ ＝ ｎＥＧ.于是對于一般情況ＡＣ ＝ ｍＢＣ，ＣＥ ＝ ｎＥＡ，如圖3，通過對前面兩種情況的解答，就容易找到解題思路：通過證△ＥＦＭ∽△ＥＧＮ來求解，易求得ＥＦ ＝ ＥＧ.

三、用特殊值法，簡捷地檢驗(yàn)化簡題和規(guī)律題

對很多學(xué)生來說，對自己化簡的結(jié)果或?qū)ふ业降囊?guī)律沒有十足的把握，需要檢驗(yàn). 但大多數(shù)學(xué)生都是按解題的步驟依次逐步檢查，這樣既費(fèi)時(shí)費(fèi)力，又不一定檢查出錯(cuò)誤. 而規(guī)律題的規(guī)律和化簡題的代數(shù)式都具有一般性，根據(jù)這一特點(diǎn)，用特殊值法來檢驗(yàn)則簡捷高效.

例４ （２０１１成都） 先化簡，再求值

解析 如果化簡的結(jié)果是２ｘ，對不對呢？可用特殊值法進(jìn)行檢驗(yàn). 在取值范圍內(nèi)令ｘ ＝ ３，把ｘ ＝ ３分別代入原式和２ｘ中進(jìn)行計(jì)算，如果結(jié)果相等，那么說明化簡正確；反之就說明化簡有誤.

用特殊值法尋求解題思路、解題、檢驗(yàn)，可使解題巧妙、快捷、簡便，但應(yīng)注意：（１）所選取的特殊值一定要在條件允許的范圍內(nèi)；（２）所選取的特殊值要有利于簡化計(jì)算、優(yōu)化推理.