中考數(shù)學(xué)探索型問(wèn)題的特征分析

【摘要】 本文主要談了中考中數(shù)學(xué)探索型問(wèn)題的分類(lèi)，解題的思路，以及選用近年來(lái)中考中出現(xiàn)的探索型問(wèn)題來(lái)說(shuō)明如何解答探索型問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】 中考數(shù)學(xué)；探索型問(wèn)題；類(lèi)型

近年來(lái)，中考試題中頻頻出現(xiàn)探索型問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題需要學(xué)生通過(guò)自己的觀察、聯(lián)想、分析、比較、歸納、概括來(lái)發(fā)現(xiàn)解題條件、結(jié)論或結(jié)論成立的條件. 這類(lèi)問(wèn)題有利于學(xué)生主體意識(shí)及主體能力的形成和發(fā)展，有利于培養(yǎng)學(xué)生形成獨(dú)立的思維品質(zhì). 因此教師在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)從探索此類(lèi)問(wèn)題的基本題型入手，向?qū)W生闡明解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路.

通常情景中的 “探索” 型問(wèn)題可以分為如下類(lèi)型：

（１）條件探索型——結(jié)論明確，需探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件的題目；

（２）規(guī)律探索型——在一定的條件狀態(tài)下，需探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的題目；

（３）存在探索型——在一定的條件下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目.

解探索型問(wèn)題主要應(yīng)從以下幾個(gè)角度考慮：

（１）利用特殊值進(jìn)行歸納、 概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律.

（２）反證法，即假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致.

（３）分類(lèi)討論法，當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門(mén)別類(lèi)地加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果.

（４）類(lèi)比猜想法，即由一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法類(lèi)比猜想出另一個(gè)類(lèi)似問(wèn)題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證.

一、條件探索型

例１ （２０１１北京）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y = -2x的圖像與反比例函數(shù)y =的圖像的一個(gè)交點(diǎn)為Ａ（－１，ｎ）． （１）求反比例函數(shù)y = 的解析式；（２）若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且滿足PA = OA，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

探析 此題第（２）小題是一道條件探索型問(wèn)題. 要使PA = OA，只要根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式判定，就能得出答案. 此題答案不唯一，如P在y軸正半軸時(shí)或x軸負(fù)半軸時(shí)均滿足條件.

二、規(guī)律探索型

例2 （２０１１十堰）如圖2，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C為半徑OB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交半圓O于點(diǎn)D，將△ACD沿DE折疊得到△AED，AE交半圓于點(diǎn)F，連接DF. （１）求證：DE是半圓的切線；（２）連接OD，當(dāng)OC = BC時(shí)，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結(jié)論.

探析 認(rèn)真觀察，不難發(fā)現(xiàn)，利用OC = BC的條件并結(jié)合圓的性質(zhì)得到角與角、邊與邊之間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，可最終得到結(jié)論.

例3 （２０１０北京）閱讀下列材料：小貝遇到一個(gè)有趣的問(wèn)題，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ ＝ ８ ｃｍ，ＡＢ ＝ ６ ｃｍ．現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)Ｐ按下列方式在矩形內(nèi)運(yùn)動(dòng)：它從Ａ點(diǎn)出發(fā)，沿著與ＡＢ邊夾角為４５°的方向作直線運(yùn)動(dòng)，每次碰到矩形的一邊，就會(huì)改變運(yùn)動(dòng)方向，沿著與這條邊夾角為４５°的方向作直線運(yùn)動(dòng)，并且它一直按照這種方式不停地運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)點(diǎn)Ｐ碰到ＢＣ邊，沿著與ＢＣ邊夾角為４５°的方向作直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Ｐ碰到ＣＤ邊時(shí)，再沿著與ＣＤ邊夾角為４５°的方向作直線運(yùn)動(dòng)……如圖3所示．問(wèn)Ｐ點(diǎn)第一次與Ｄ點(diǎn)重合前與邊相碰幾次，Ｐ點(diǎn)第一次與Ｄ點(diǎn)重合時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)是多少．

小貝的思考是這樣開(kāi)始的：如圖4，將矩形ＡＢＣＤ沿直線ＣＤ折疊，得到矩形Ａ１Ｂ１ＣＤ．由軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)Ｐ２Ｐ３ ＝ Ｐ２Ｅ，Ｐ１Ａ ＝ Ｐ１Ｅ．

請(qǐng)你參考小貝的思路解決下列問(wèn)題：

（１）Ｐ點(diǎn)第一次與Ｄ點(diǎn)重合前與邊相碰次，Ｐ點(diǎn)從Ａ點(diǎn)出發(fā)到第一次與Ｄ點(diǎn)重合時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)是 ｃｍ.

（２）進(jìn)一步探究：改變矩形ＡＢＣＤ中ＡＤ，ＡＢ的長(zhǎng)，且滿足ＡＤ ＞ ＡＢ．動(dòng)點(diǎn)Ｐ從Ａ點(diǎn)出發(fā)，按照閱讀材料中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式，并滿足前后連續(xù)兩次與邊相碰的位置在矩形ＡＢＣＤ相鄰的兩邊上．若Ｐ點(diǎn)第一次與Ｂ點(diǎn)重合前與邊相碰７次，則ＡＢ ∶ ＡＤ的值為 ．

探析 解題思路示意圖如圖5所示.

三、存在探索型

例4 （２０１１哈爾濱）手工課上，小名準(zhǔn)備做一個(gè)形狀是菱形的風(fēng)箏，這個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和恰好為６０ ｃｍ，菱形的面積Ｓ（單位：ｃｍ2）隨其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)ｘ（單位：ｃｍ）的變化而變化. （１）請(qǐng)直接寫(xiě)出Ｓ與ｘ之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量ｘ的取值范圍）；（２）當(dāng)ｘ是多少時(shí)，菱形風(fēng)箏的面積Ｓ最大？最大面積是多少？

探析 問(wèn)題（２）是探索型問(wèn)題，利用菱形面積與對(duì)角線間特殊的關(guān)系Ｓ ＝ ｘ（６０ － ｘ）和重要不等式的結(jié)論知，當(dāng)ｘ ＝ ６０ － ｘ時(shí)Ｓ取到最大值，故得出結(jié)論ｘ ＝ ６０ － ｘ ＝ ３０（ｃｍ），此時(shí)Ｓ ＝ ４５０，即為結(jié)論.

解答探索型問(wèn)題，必須在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，通過(guò)歸納 、想象、猜想來(lái)進(jìn)行規(guī)律的探索，需要解答者提出觀點(diǎn)與看法，并利用舊知識(shí)的遷移、 類(lèi)比發(fā)現(xiàn)解題方法，或從特殊、 簡(jiǎn)單的情況入手，尋找規(guī)律，找到解題方法. 此類(lèi)問(wèn)題有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，這也是數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用的能力要求.