數學解題中的化歸策略

【摘要】 化歸是解決數學問題的一種重要思想方法，它貫穿于整個數學之中. 本文從四個方面分析了這種方法的妙用：函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化；化復雜問題為簡單問題；將一般性的問題轉化為直觀的特殊的問題；分類討論思想.

【關鍵詞】 轉化；化歸

所謂“化歸”，從字面上看，可理解為轉化和歸結的意思. 數學解題中所論及的“化歸方法”，是指把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經能解決或比較容易解決的問題上去，最終求得原問題之解答的一種手段和方法. 轉化與化歸思想的實質是揭示聯系，實現轉化. 掌握化歸這一思想，學會用化歸的策略分析問題和處理問題，有著十分重要的意義. 下面從四個不同的方面淺析這種方法的妙用. 一、函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化

函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題. 方程的思想是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題. 函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系.

例１ 二次函數ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的圖像如圖1所示，根據圖像解答下列問題：

（１）寫出方程ax2 + bx + c = 0的兩個根 ．

（２）寫出不等式ax2 + bx + c > 0的解集 ．

（３）寫出y隨x的減小而增大的自變量x的取值范圍 ．

（４）寫出方程ax2 + bx + c = -6的實數根.

（５）若方程ax2 + bx + c = k有兩個不相等的實數根，寫出k的取值范圍 ．

分析 求方程ax2 + ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０的兩個根其實就是求二次函數ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的圖像與ｘ軸的交點，而不等式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > 0的解集就是看函數圖像在ｘ軸上方部分對應的自變量的取值范圍，方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ = -6的實數根就是函數圖像與直線x = -6的交點對應的橫坐標. 這道題巧妙地把函數、方程以及不等式結合起來.

二、化復雜問題為簡單問題

例２ 解方程：２（ｘ － １）２ － ５（ｘ － １） ＋ ２ ＝ ０.

解 令ｙ ＝ ｘ - １，則２ｙ２ - ５ｙ ＋ ２ ＝ ０．

所以ｙ１ ＝ ２或ｙ２ ＝ ，即ｘ - １ ＝ ２或ｘ - １ ＝

所以ｘ ＝ ３或ｘ ＝ ，故原方程的解為ｘ ＝ ３或ｘ ＝

點撥 很顯然，此為解關于ｘ － １的一元二次方程．如果把方程展開化簡后再求解會非常麻煩，所以可根據方程的特點，將（ｘ - １）設為ｙ，這樣原方程就可以利用換元法轉化為含有ｙ的一元二次方程，問題就簡單化了．

三 將一般性的問題轉化為直觀的特殊的問題

例３ △ＡＢＣ中，ＢＣ ＝ a，ＡＣ ＝ b，ＡＢ ＝ ｃ． 若∠C = 90°，如圖2，根據勾股定理，則a2 + b2 = c2. 若△ＡＢＣ不是直角三角形，如圖3和圖4，請你類比勾股定理，試猜想a2 + b2與ｃ２的關系，并證明你的結論．

證明 在圖3和圖4中，過Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ，交AC或ＡＣ的延長線于Ｄ，如圖5和圖6.

在圖5中，設ＣＤ為x，則有BD2 = ａ２ － ｘ２.

根據勾股定理，得（ｂ - ｘ）2 + ａ２ － ｘ２ ＝ ｃ２．

即ａ２ ＋ ｂ２ - ２ｂｘ ＝ ｃ２． ∵ ｂ ＞ ０，x > 0，

∴ 2bx > 0，∴ a2 + b2 > c2.

在圖6中，同理可得a2 + b2 < c2.

點撥 勾股定理是我們非常熟悉的幾何知識，對于直角三角形的三邊具有a2 + b2 = c2的關系，那么銳角三角形、鈍角三角形的三邊又是怎樣的關系呢？我們可以通過作高這條輔助線，將一般三角形轉化為直角三角形來確定三邊的關系．

四、分類討論思想

例４ 解不等式：（ｍ ＋ １）ｘ ＞ ｍ2 － １.

分析 如果不區分ｍ ＋ １ ＞ ０或ｍ ＋ １ ＜ ０，得ｘ ＞ ｍ － １，那就不對了，因為既可以ｍ ＋ １ ＞ ０，或ｍ ＋ １ ＝ ０，也可以ｍ ＋ １ ＜ ０. 不同的情況下有不同的答案.

解 當ｍ ＋ １ ＞ ０，即ｍ ＞ －１時，則ｘ ＞ ＝ ｍ － １.

當ｍ ＋ １ ＝ ０，即ｍ ＝ －１時，原不等式為０·ｘ ＞ ０，故不等式無解.

當ｍ ＋ １ ＜ ０，即ｍ ＜ －１時，則ｘ ＜ ＝ ｍ － １.

說明 由于問題中含有的參變量的不同取值會導致不同結果，故需要對其進行分類討論.

化歸策略是數學解題的基本方法之一，但為了更好地把握住化歸方向，我們必須遵循一些化歸的基本原則. 化歸的基本原則主要有熟悉化原則、簡單化原則、具體化原則、極端化原則、和諧化原則. 在解決實際問題時，可以而且必須結合起來使用，這樣才能收到更好的化歸效果.

【參考文獻】

［１］張維忠，著.數學文化與數學課程.上海：上海教育出版社，１９９９．９.

［2］毛永聰，主編.中學數學創新教法——思維訓練方案. 北京：學苑出版社，１９９９．６.