中考數(shù)學(xué)試題的歸納模式

法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說(shuō)過(guò)：發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比．歸納法雖然是一種“似然”的“合情推理”，但這并不意味著歸納法的作用不大，實(shí)際上對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展和創(chuàng)新而言，歸納推理的巨大作用是論證推理所無(wú)法代替的．牛頓說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜測(cè)，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn). ”在特殊的情況下，通過(guò)觀察或?qū)嶒?yàn)等方法，捕捉事物的本質(zhì)屬性，從而大膽猜測(cè)，歸納判斷，在這個(gè)基礎(chǔ)上再設(shè)法加以論證．

中考作為選拔性考試，更側(cè)重于能力測(cè)試，歸納能力的測(cè)試越來(lái)越得到出題者的重視．本文擬從枚舉、類比、實(shí)驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)與模式等方面對(duì)各地中考試題進(jìn)行探索與分析．

（一）枚舉歸納

枚舉歸納法是從枚舉一類事物中的若干分子具有的某種性質(zhì)得出這類事物的所有分子都具有該性質(zhì)的邏輯方法．枚舉歸納法只依靠所枚舉的事例的數(shù)量，因此它所得到的結(jié)論可靠性較低，一旦遇到一個(gè)反例，結(jié)論就會(huì)被推翻．但是枚舉歸納法仍有一定的作用，通過(guò)枚舉歸納法得到的結(jié)論可作為進(jìn)一步研究的假說(shuō)．

例１ （２００９ 本溪）如圖所示，已知點(diǎn)Ａ（０，０），Ｂ（，０），Ｃ（０，１），在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第１個(gè)△AA1B1，第２個(gè)△B1A2B2，第３個(gè)△B2A3B3，……則第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)等于 ．

分析 顯然要求第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)，需要求出第１個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)、第２個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)……從中發(fā)現(xiàn)律，順利解決．△ABC在平面直角坐標(biāo)系下，顯然OB = ，通過(guò)計(jì)算可得出OB1 = ，B1B2 = ，…，Bn-1Bn =

解 答案為．

點(diǎn)評(píng) 此題把圖形的數(shù)量關(guān)系坐標(biāo)化，將其轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度關(guān)系，并且一開始就沒(méi)有給出第１個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)，需要根據(jù)已知來(lái)求，然后依次求第２個(gè)、第３個(gè)……然后歸納得出一般結(jié)果．這類問(wèn)題注重檢驗(yàn)考生的學(xué)習(xí)潛能，僅僅有死的知識(shí)是不行的，還必須具備較強(qiáng)的邏輯判斷能力、運(yùn)算能力與歸納推理能力．

（二）類比歸納

類比歸納法是對(duì)兩種或兩種以上在某些關(guān)系上表現(xiàn)相似的對(duì)象進(jìn)行對(duì)比，作出歸納判斷的一種科學(xué)研究方法．在中考中經(jīng)常考查類比歸納法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)知識(shí)的類比和歸納，把知識(shí)由點(diǎn)連成線，由線織成網(wǎng)，使知識(shí)有序化、系統(tǒng)化，從而使學(xué)生掌握知識(shí)內(nèi)在的規(guī)律．

例２ （２００８ 遵義）如圖1是與楊輝三角形有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，ａ，ｂ是某行的前兩個(gè)數(shù)，當(dāng)a = 7時(shí)，b = ．

分析 一看到此題，學(xué)生應(yīng)該在頭腦中馬上映現(xiàn)出楊輝三角形的基本數(shù)表結(jié)構(gòu)（圖2），對(duì)比楊輝三角形的性質(zhì)，通過(guò)觀察、類比、歸納三角形數(shù)壘的特征，當(dāng)a = 6時(shí)，鄰近的數(shù)字是１６，那么當(dāng)a = 7，鄰近的數(shù)字是２２．

解 答案為22.

點(diǎn)評(píng) 此題以大家熟知的楊輝三角形為基本模型，設(shè)計(jì)構(gòu)造了一個(gè)新的數(shù)表，在解決過(guò)程中需要頭腦中映像出楊輝三角形的基本特征，以此為依托，發(fā)現(xiàn)兩者的異同，從而迅速準(zhǔn)確地把握其數(shù)字規(guī)律，從而有效解決問(wèn)題．

（三）模式歸納

模式歸納是借助于已有的提供數(shù)、圖表信息，以此為依據(jù)，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行歸納得出結(jié)論的過(guò)程．模式可以包括數(shù)的模式、形的模式、運(yùn)動(dòng)變化的模式、推理通信的模式、算法模式，等等．

例3 （２００７ 梅州）將４個(gè)數(shù)ａ，ｂ，ｃ，ｄ排成２行２列，兩邊各加一條豎線記作a bc d，定義a bc d = ad - bc．上述記號(hào)就叫做二階行列式． 若x + 1 x - 11 - x x + 1 = 6，則x ＝ ．

分析 此題給出了一個(gè)新的運(yùn)算規(guī)則，學(xué)生需讀懂這個(gè)運(yùn)算規(guī)則，然后根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，將二階行列式轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程，從而獲得解決．

解 計(jì)算（ｘ ＋ １）（ｘ ＋ １） － （１ － ｘ）（ｘ － １） ＝ ６，解得．

點(diǎn)評(píng) 二階行列式是高中數(shù)學(xué)或大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，此題以此為背景設(shè)計(jì)，運(yùn)算對(duì)初中生來(lái)說(shuō)是一種新的運(yùn)算，實(shí)際上提供了一個(gè)新的算法模式，利用模式來(lái)解決問(wèn)題，從而有效考查學(xué)生的閱讀理解能力以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛力．