一道思考題的引申

在小學數學教材中，曾經有這樣一道思考題：先分別計算１１ × ９９，１１１ × ９９９，看它們的積里各有多少個數位上的數是偶數. 想一想的積里有多少個數位上的數是偶數？

這類題的簡便算法一般是用乘法分配律：

＝ １１ × （１００ － １） ＝ １１００ － １１ ＝ １０８９.

計算結果是積里有２個數位上的數是偶數.

其實任意一個ｎ位數（１０，１００，１０００，１００００，…除外）乘９９…９都可以速算，并且它的積里有很多神奇的性質，現在我們就來介紹一下ｎ位數乘的積.

一 、積的速算方法

計算１１１ × ９９９還有比乘法分配律更簡便的方法，看著橫式可以直接寫出得數. １１１ × ９９９的積是一個六位數，積的前三位是比１１１少１的數，即１１１ - １ ＝ １１０，積的后三位是９９９減去積的前三位１１０的差，即９９９ - １１０ ＝ ８８９，所以１１１ × ９９９ ＝ １１０８８９ . 這種速算法具有一般性，對于任意一個ｎ位數乘ｎ位９都適用，它的積是一個２ｎ位數，積的前ｎ位是這個ｎ位數減１，積的后ｎ位是９９…９減去積的前ｎ位數，用這種方法不用寫計算過程，看著橫式便可以直接寫出得數.

例１ ９９９９９ × １３５７９ ＝ １３５７８８６４２１.

13579 － 1 99999 － 13578

二、積的奇偶性

在任意一個ｎ位數乘的積里面有ｎ個數字是偶數，ｎ個數字是奇數，因為積的后ｎ位是用減去積的前ｎ位，所以積的前ｎ位與后ｎ位數字的奇偶性正好相反.

例２ .

因為是２０位數，所以它的積里有２０個數字是偶數.

例３ ３３３３ × ６６６６ ＝ ９９９９ × ２２２２ ＝ ２２２１７７７８.

在積２２２１７７７８中，有４個數字是偶數，有４個數字是奇數.

三、積的數字之和

任意一個ｎ位數乘，積的各位數字之和都為９ｎ.

例4 ２４６８ × ９９９９ ＝ ２４６７７５３２.

積的各位數字之和為（２ ＋ ７） ＋ （４ ＋ ５） ＋ （６ ＋ ３） ＋ （７ ＋ ２） ＝ ９ × ４ ＝ ３６.

四、積的對稱性

９９乘兩位數，如果這個兩位數的兩個數字之和為１０，則它們的積具有對稱性.

９９ × ９１ ＝ ９００９

９９ × ８２ ＝ ８１１８ ９９ × １９ ＝ １８８１

９９ × ７３ ＝ ７２２７ ９９ × ２８ ＝ ２７７２

９９ × ６４ ＝ ６３３６ ９９ × ３７ ＝ ３６６３

９９ × ５５ ＝ ５４４５ ９９ × ４６ ＝ ４５５４

９９乘兩位數，如果這個兩位數的兩個數字相同，如２２和８８成雙配對，其和是１１０，它們分別與９９相乘，積可以相互倒轉計算. 另外還有１１和９９，３３和７７，４４和６６.

１１ × ９９ ＝ １０８９ ９９ × ９９ ＝ ９８０１

２２ × ９９ ＝ ２１７８ ８８ × ９９ ＝ ８７１２

３３ × ９９ ＝ ３２６７ ７７ × ９９ ＝ ７６２３

４４ × ９９ ＝ ４３５６ ６６ × ９９ ＝ ６５３４

五、ｍ位數乘ｎ位９

如果一個ｍ位數乘，ｍ ≤ ｎ，則積是一個（ｍ ＋ ｎ）位數，積里有ｍ個數字是偶數、ｎ個數字是奇數，積的各位數字之和還是９ｎ.

例5 ９９９９９ × ９８７ ＝ ９９９９９ × ９８７．００ ＝ ９８６９９０１３．００ ＝ ９８６９９０１３.

積９８６９９０１３是一個８位數（５ ＋ ３ ＝ ８），在９８６９９０１３中，數字是偶數的有３個，與９８７的位數相同，數字是奇數的有５個，與乘數９９９９９的位數相同，積的各位數字之和是９ × ５ ＝ ４５.

例6 ４５ × ９９９９ ＝ ４５．６０ × ９９９９ ＝ ４５５９５４．４０ ＝ ４５５９５４．４.

使用上述方法可以很迅速地寫出ｎ位９乘一個位數不超過ｎ的任意數的積.

六、神奇的乘法金字塔

這是一種十分有趣的乘法，樣子像金字塔，它們結構特殊，排列有序，數字整齊. 像左邊這樣的乘法一共可以寫出８種，就是ｎ位９乘比ｎ位ａ多１的數都行（ａ ＜ ９），每一種自成寶塔，形如：

這可真是神奇的ｎ位數乘ｎ位９呀！