數學方法在物理學研究中的運用

班國勇

【摘要】文章通過介紹物理學與數學的聯系。提出了在物理學研究中把數學形式與物理規律、物理圖像等緊密聯系起來，達到提高學生分析、解決物理學問題的能力，為開啟從事物理學工作的教師探索性思維、創造性研究提供參考。

【關鍵詞】數學方法；物理學研究；運用

1物理學與數學的聯系

自然界中的一切事物都是質和量的統一體，認識世界的重要途徑是對事物進行質和量的考察，量變到質變是事物發展的普遍規律。反映事物本質屬性及其規律的物理學，不僅應有正確的定性描述，還必須準確地刻劃出量的變化規律，而且也只有當物理學由定性進入到定量的階段，才算是真正把握住了事物的質，才標志著物理學已經成熟，這當然離不開數學。16世紀以后，物理學逐漸發展成為一門成熟的自然科學，它不僅用實驗方法代替了以往整體的觀察法而且引進了數學方法。在物理學研究中針對研究對象不同的特點，運用數學概念、方法和技巧，對研究對象進行量的分析、描述、計算和推導，從而找出能以數學形式表達事物的量的規律性。數學在物理科學中取得的成就有目共睹:從牛頓的經典力學到狹義相對論以及廣義相對論；從麥克斯韋方程組中的電與磁到量子力學中波粒二象性的對立統一，數學無時不在幫助陳述與幫助揭示自然的奧秘。近代科學是以物理學為標志的，其重要原因之一，就是它能以精確的數學形式表示出物體的運動規律，開創了科學實驗同數學相結合的方法?，F代物理學則發展到了與數學須臾不離的地步，現代物理學的研究對象離直觀越來越遠，需要反映其內在聯系的自然現象或實驗事實越來越復雜，欲想對其進行定量分析和深入研究，就非用數學不可，用數學不但能準確地反映出已知事物的本質聯系，而且能做出科學預見，取得重大的突破?，F代物理的一切重大發現，都與數學的應用密切相關。物理學發展對數學的需要恰好在數學發展上起了直接的決定性的推動作用，如微積分是牛頓在處理物理問題時，用已有的數學知識沒法解決的前提下創立的。在歷史上牛頓等很多物理學家也是數學家。

2數學方法在物理學研究中的運用

（1）用數學思想與方法表述物理概念。概念是思維的基本單位，也是最基本的思維形式。物理概念不僅僅是實踐發展的產物，同時也是抽象思維的結果。數學思想與方法的應用，給這一抽象、概括提供了最理想的工具。在物理研究中，用數學思想與方法對各種物理概念進行數量方面的描述形成了各種物理量。物理量體現了質與量的統一。物理概念的建立，可以理解為對物理量的確切表述。

（2）用數學思想與方法描述物理規律。數學思想與方法給物理規律的描述提供了最簡潔、最準確的表達方式。如用方程函數思想描述物理規律有:自由落體運動的位移與速度的變化規律:S =1/2gt2、v = gt，閉合電路中電流的變化規律:I =ε/R+ r，正弦交流電的變化規律:i = Imsinωt，等等。又如:已知一物體作變速直線運動，其速度u是時間的函數，求物體由時刻t = a到t = b這段時間內所經過的路程S。這里可用分割、代替、求和、取極限的數學方法建立數學模型，把物理學上較為復雜的變速直線運動明確地表示出來。再如:在初速度為零的勻變速直線運動中，假設物體經過t秒通過的位移為S1，經過2t秒通過的位移為S2，經過3t秒通過的位移為S3……，則根據初速度為零的勻變速直線運動的位移公式:S1=12at2，S2=12a(2t)2，S3=12a(3t)2……，得到S1∶S2∶S3∶……=12∶22∶33∶……，即可得出結論:在初速度為零的勻變速直線運動中，物體所通過的位移與時間的平方成正比。這就告訴我們，運用數學思想與方法，通過計算可以揭示物理規律更深刻的內容。

3運用數學方法來分析、解決物理問題時應該注意哪些問題

（1）在物理公式中運用數學知識時，一定要使學生弄清物理公式或圖像所表示的物理意義，不能單純地從抽象的數學意義去理解物理問題，要防止單純從數學的觀點出發將物理公式“純數學化”的傾向。這就是說，要注意不能把物理意義淹沒在數學表述式中。物理與數學畢竟各有特點，二者有各自不同的研究對象和方法，一個數學函數式可以表示事物間的多種相互關系，而一個物理公式總是具有特定內容的，一定要在明確物理內容的基礎上運用數學工具。在有關圖像的教學中，應該把“形”與它所反映的物理內容聯系起來，用圖形來直觀地表示其物理內容，還應該引導學生弄清楚用數學來解決物理問題時，必須受到物理概念和規律的制約，有時從數學知識上來看是合理的，而從它的物理意義上來看是不合理，也就是說，受限于物理現象的本質，數學知識的應用有其局限性和特殊性。

（2）表達物理概念或規律的公式都是在一定條件下成立的，在運用數學解決物理問題時，一定要使學生弄清物理公式的適用條件和應用范圍。

（3）運用數學知識來推導物理公式或從基本公式導出其它關系式時，應該注意: 有些物理定律雖然可以從別的物理定律推導出來，但要引導學生弄清所討論的物理定律是怎樣建立的以及它跟相關聯的物理定律有什么關系。

（4）要把概念、規律的數學公式，與用文字、語言敘述結合起來，真正理解式子的物理含意，不要單從純數學關系上理解公式，避免產生物理意義上的錯誤。例如，物質密度的定義式是 D=m/v，我們能不能根據這個式子的數學關系，說物質的密度 ρ與質量 m 成正比，與體積 V 成反比呢?不能，因為密度 ρ 是描述每種物質固有特性的物理量。例如，鋁的密度是 2.7 ×103 千克/ 米3，不管把鋁做成小鉚釘，還是大鋁塊，ρ 都是這個數值，怎能說它與質量成正比，與體積成反比呢?所以公式 ρ=m/v 只是提供了一種測量和計算密度的方法，即，當測出物體的質量和體積，就可利用這一公式計算出構成這一物體的物質的密度。

（5）在進行物理計算、推理時，要把物理計算和簡潔的文字說理結合起來，才能使解決問題的過程物理思路清晰，方法簡明嚴格。計算得到的結果，也要明確它的物理意義。

（6）要養成用作圖來表示物理過程和規律的習慣，如畫物體受力圖，簡單機械的力圖，晶體的熔解曲線，物體的運動情況圖，光路圖等。自覺學會按題畫圖，看圖識義，提高正確用圖的能力，克服做練習不畫圖，不用圖的壞習慣。

總之，運用數學思想與方法表述物理概念、描述物理規律、解決物理問題的過程，就是物理問題與數學問題相互達到統一的過程。數學思想與方法必須體現數學與物理內容的統一，這是我們解決物理問題的重要原則。

參考文獻：

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