來自學生的驚喜

陳建參

摘要： 解析幾何中的圓錐曲線問題，可以轉化為函數、導數、三角、向量、不等式等代數問題來求解.在教學中可以通過一題多解，培養學生熟練運用代數方法解決幾何問題的能力.

關鍵詞： 高三復習課圓錐曲線問題代數解法一題多解

高三復習課上，如果教師能有針對性地選擇每節課的典型例題，讓學生有意識地進行預先訓練，然后通過課前搜集整理，把學生的各種各樣解法通過多媒體形式播放，讓所有學生都能欣賞到各種不同解法，做到既來源于學生又服務于學生，就能激發學生的學習興趣，促進學生整體思維品質發展，培養學生思維的開放性，促進創新意識的發展，又能很好地達到學生對復習知識點和提高知識點的熟練運用，實現復習效果的最大化.下面通過一個例子加以說明.

例題：已知點A、D分別是橢圓+=1（a＞b＞0）的左頂點和上頂點，點P是線段AD上任意一點，點F、F分別是橢圓的左、右焦點，且?的最大值是1，最小值是-.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的右頂點為B，點S是橢圓上位于x軸上方的一點，直線AS、直線BS與直線l:x=分別交于M、N兩點，求|MN|的最小值.

解：（1）（解法一）設P（x，y），F（-c，0），F（c，0），其中c=，

則=（-c-x，-y），=（c-x，-y），?=x+y-c.

因為P在線段AD上，則x+y可以看做原點O至P點距離的平方，易知當P與A點重合時，x+y取最大值a，當OP⊥AD時，x+y取最小值.

由題意得a-c=1-c=-，解得a=4，b=1，即橢圓的方程為+y=1.

【點評】此解法用直接法解題，求最值時轉化為幾何意義.

（解法二）設P（x，y）（-a≤x≤0），∵直線AD:y=x+b，∴?=（-c-x，-y）?（c-x，-y）=x+y-c=x+x+b-c=（x+）+-c（-a≤x≤0）

∵a+b＞b＞0，∴＜1，∴-a＜-，∴-c=①

又x=-a時?=b，x=0時?=b-c，且b＞b-c，∴b=1②

由①、②得a=4，b=1，∴橢圓的方程為+y=1.

【點評】此解法是轉化為二次函數的最值問題直接求解.

（解法三）設線段AD:+=1，則可設P（x，）（-a≤x≤0），又F（-c，0），F（c，0），

∴=（-c-x，-b-），=（c-x，-b-），?=x-c+（b+）=x+x+b-c.

設f（x）=x+x+b-c，則f′（x）=（+2）x+，由f′（x）=0得x=-＞-a.

∴f（x）在（-a，-）上遞減，在（-，0）上遞增，又f（-a）=b＞2b-a=f（0），

∴f（x）=f（-a）=b=1，得x=-=-且f（x）=f（）=-得a=2.

∴橢圓的方程為+y=1.

【點評】此解法精彩在于轉化為二次函數的最值，利用導數求解，顯示學科內知識的交叉.

（解法四）依題意得A（-a，0），D（0，b），F（-c，0），F（c，0），設=λ，則=（λa，λb），由A（-a，0）得P（λa-a，λb），∴=（-c-（λ-1）a，-λb），∴=（c-（λ-1）a，-λb），

∴?=-［c+（λ-1）a］?［c-（λ-1）a］+λb=（a+b）λ-2aλ+a-c（0≤λ≤1），

則當λ==時?取最小值，得-+b=-①，

又λ=0時?=a-c=b，λ=1時?=2b-a＜b，∴b=1得a=4，∴橢圓的方程為+y=1.

【點評】利用向量關系描述點坐標關系，顯然學生對知識的遷移比較成功.

（解法五）由題意知（+）=|2）|（-）=得++2?=4+-2?=4c，

∴4?=4-4c即?=-c.

∵P在線段AD上，∴當P在A處時最大，當OP⊥AD時，取得最小值，

又易知直線AD方程為bx-ay+ab=0，∴點O到直線AD的距離為d=.

∴a-c=1d-c=-a=b+c得b=1a-c=1-c=-，解得a=2，∴橢圓的方程為+y=1.

【點 評】利用向量的關系解題是本解法的可貴之處，其中（+）=|2|的運用顯示學生對向量知識掌握及運用的熟練程度.

（2）（解法一）由題意知直線AS的斜率存在，則直線AS的方程可設為 y=k（x+2）（k＞0）.

由y=k（x+2）x=得M點的坐標為（，），

由y=k（x+2）x+4y=4得（1+4k）x+16kx+16k-4=0，且△=16＞0①，設S的坐標為（x，y），則x和-2是方程①的兩個根，

則x?（-2）=，得x=，∴y=k（+2）=，

∴直線BS的斜率為=-，則直線BS的方程可設為y=-（x-2）.

由y=（x-2）x=得N點坐標為（，-），∴|MN|=|+|≥2=當且僅當=即k=時取等號，故|MN|的最小值為.

【點評】此解法為常規的設而不求方法.

（解法二）設AS：x=my-2，由+y=1x=my-2得（my-2）+4y-4=0，

即（4+m）y-4my=0，∴y+y=得y=，∴x=得S點坐標為（，），

∴l∶y=（x+2）=（x+2），l∶y=（x-2）=-（x-2），

∴|MN|=||+||≥2|=，當且僅當||==||即|m|=8時，|MN|取最小值為.

【點評】此解法與解法一類似，不同之處在于直線的形式不同.

（解法三）可設M（，m）、N（，n），則l∶y=（x+2），l：y=（x-2），

由y=（x+2）y=（x-2）得S（，），又已知S在橢圓上，代入橢圓方程得（）+4（）=4，即16n+32mn+m+225mn=16n-32mn+m.

∴mn=-得|m|?|n|=，∴|MN|=|m|+|n|≥2=2×=當且僅當|m|=|n|=時等號成立，故|MN|的最小值為.

【點評】此解法的精彩在于直接設點M、N坐標求解.

（解法四）依題意設S（2cosθ，sinθ）（θ∈（0，π）），又A（-2，0），B（2，0），

∴AS∶y=（x+2）得M（，），BS∶y=（x-2）得N（，），

∴|MN|=?|+|=?=?，

令=t，則15cosθ+tsinθ=17得sin（θ+φ）=17（其中tanφ=），

∴≥17得t≥8，∴|MN|≥.

【點評】利用橢圓上點的參數坐標，轉化為三角函數問題，顯示學生對三角函數知識的熟練掌握.

（解法五）設AS∶y=k（x+2），BS∶y=k（x-2），依題意k＞0，k＜0，設S（x，y），則+y=1，∴k=，k=得kk===-，∴k=-，

∴|MN|=k（+2）-k（-2）=（16k-k）=（16k+）≥×2=當且僅當16k=即k=時等號成立，故|MN|的最小值為.

【點評】此解法直接假設直線的斜率，通過探求得到斜率關系，體現學生具備一定的探索求解能力.

（解法六）設S（x，y），又A（-2，0），B（2，0），∴AS∶y=（x+2），BS∶y=（x-2）

∴M（，），N（，）得|MN|=|-|=||.

設w=||，∵y=1-=（4-x），∴w==，

令15x-34=t，則x=，∴w======.

∵-2≤x≤2，∴-64≤t≤-4得-≤≤-，∴-4≤≤-.

∴=-時w取最小值16，即w≥16得w≥4，∴|MN|≥.

【點評】此解法運算比較麻煩，能夠順利求解顯示學生具有很好的運算求解能力.

綜合以上來看，解析幾何中的圓錐曲線問題，可以轉化為函數、導數、三角、向量、不等式等代數問題，從而體現學生的運算求解能力和探索求解能力，體現解析幾何的特征，培養學生熟練用代數方法解決幾何問題的能力.

高三的數學復習，可以采用這樣的復習形式，讓學生成為復習課的主人，往往會收到令人意想不到的效果.