錯解的剖析在數學教學中的作用

傅子川

摘要： 在數學教學中，學生解題中出現各種各樣的錯誤一直是教師最頭痛的問題，而這個問題卻始終貫穿整個教學過程，怎么才能減少或避免學生在數學學習中的解題錯誤呢？這是一個令廣大一線教師和學者所關注的實際問題，也是學生渴望從老師那里得到明確答案的問題.本文分析錯解的剖析在數學教學中的作用.

關鍵詞： 數學教學錯解剖析錯解原因作用

在數學教學中，經常會存在這種現象，課堂上教師講得頭頭是道，學生也聽得明明白白，但是做起題目卻錯誤百出，究其原因，忽視錯解的作用是其中重要的一個.雖然誰也不希望在解題中出錯，但誰也不能幸免在解題中出錯．學生在解題中出錯是學習活動的必然現象．教師對錯解的處理是解題教學的正常業務，并且對錯解剖析具有正例示范所不可替代的作用，兩者相輔相成構成完整的解題教學，在課堂上及時針對錯解進行剖析對提高教學質量有明顯的效果.

一、分析錯解原因能加深學生對概念和方法的理解

一節新課后，總有部分學生滿足于教師講授的概念的表面理解，而在利用這些概念解題時往往會產生錯誤.例如：在上完“空間直線與平面”后，我曾布置這樣一道習題：求證：兩條平行線和同一平面所成的角相等.對這道并不難的習題，絕大部分的學生將用文字敘述的命題翻譯成數學符號表示時做錯了.他們的表述是：已知：a∥b，a∩平面α=A，b∩平面α=B，a，b和平面α所成的角分別是∠1和∠2，求證：∠1=∠2.

在習題講評時指出這種做法是將“空間直線和平面關系”的外延縮小為直線和平面相交，在證明時又進一步將線面關系縮小為線面斜交.而實際上這一概念的外延還有：線在面內，線面平行.原命題兩條平行線中的任何一條都可以有上面的三種位置中的任何一種.講評后引導學生討論，而后學生正確地將原命題用數學符號表述如下：已知：在平面α，直線a，b，且a∥b，求證：直線a，b和平面α所成的角相等.

然后分直線在平面內，直線和平面平行、垂直、斜交四種情況分別給予證明.

通過對這個錯解原因的分析，學生深刻理解了“空間直線和平面位置關系”的概念，并認識到了真正理解數學概念的必要性.

中學數學有些重要的方法在數學中占有一定的地位.如數學歸納法不僅是中學數學中的重要工具，而且在高等數學中也有相當重要的位置.雖然對這部分基礎知識學生自己不覺難以掌握，但實際上由于對數學歸納法的原理理解不深，再加上教材中的例題和習題的影響，多數學生不能正確、靈活應用這種方法.

如不少學生應用數學歸納法時認為n取初值n時，等式左邊只有n項，而不是依左式的構造規律確定n取初值n時左邊的項，導致證題錯誤。

例1：求證：++…＞1（n∈N）

當時，學生常誤認為左邊僅一項，事實上，左邊是++.

再如n從k變到k+1時，學生受到例題的影響，認為左邊僅增加一項，以致有些命題無法證明或證明錯誤.以上例題來說n從k變到k+1時，左邊的式子增加了三項++，前面少了一項.

通過這道題讓學生頭腦中的錯誤東西暴露，并共同解剖之，給學生留下了深刻的印象.不僅明確運用數學歸納法的兩個步驟都應嚴格依照式子的組成規律確定左邊的項，而且認識到應用任何數學知識、方法前一定要先做縝密的分析，不可輕易做判斷.

二、挖掘錯解根源使學生能正確應用公式、定理

在教學中常可看到有些學生不重視定理、公式的使用范圍和條件，而僅憑死記硬背定理的結論和公式，亂套硬用，從而造成錯解.這時，若能準確地選擇錯解進行剖析，挖掘其病根，則必能使學生警覺，深感只有明確定理、公式的使用條件和范圍，才能正確應用公式和定理.

例如，在教完“等比數列前n項和公式”后的習題中有這樣一道題目：設等比數列{an}前n項、前2n項、前3n項的和分別為A、B、C，求證：A+B=A（B+C）.

學生會給出如下錯解：

證明：設首項為a，公比為q，則

學生這種貌似簡明的解法是錯誤的，學生在討論后才認識到忽略了等比數列前n項和公式中的限制條件：q≠1時.上述證明僅說明了q≠1時，等式A+B=A（B+C）成立，而q=1時則應另行證明.

三、澄清錯解原因能有效防止知識和經驗的負遷移

由于有些學生對新舊知識、相識知識掌握不好，不明確它們的異同；有些學生對所積累的解題經驗適用范圍模糊不清，從而造成分析問題和解題時知識和經驗的負遷移，造成錯解.要解決這類問題除了在教授相應知識時不僅要指出其聯系更要講清應用條件和范圍的區別外，還要引導學生針對錯解進行剖析，澄清錯解的原因，才能有效防止知識和經驗的負遷移.

例如：求過點（0，1）的直線，使它與拋物線y=2x僅有一個交點.

錯誤解法：設所求的過點（0，1）的直線為y=kx+1，則它與拋物線的交點為y=kx+1y=2x，消去y得（kx+1）-2x=0.整理得kx+（2k-2）x+1=0.

∵直線與拋物線僅有一個交點，∴△=0，解得k=.∴所求直線為y=x+1.

錯誤分析：此處解法共有三處錯誤：

第一，設所求直線為y=kx+1時，沒有考慮k=0與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的.

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況.原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關系理解不透.

第三，將直線方程與拋物線方程聯立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數不能為零，即k≠0，而上述解法沒有考慮，表現出思維不嚴密.

正確解法：①當所求直線斜率不存在時，即直線垂直x軸，因為過點（0，1），所以x=0，即y軸，它正好與拋物線y=2x相切.

②當所求直線斜率為零時，直線為y=1平行x軸，它正好與拋物線y=2x只有一個交點.

③一般地，設所求的過點（0，1）的直線為y=kx+1（k≠0），則y=kx+1y=2x，

∴kx+（2k-2）x+1=0.令△=0，解得k=，∴所求直線為y=x+1.

四、通過對錯解的剖析有助于培養學生良好的思維能力

培養學生的思維能力是中學數學教學的一個重要任務.而適時適量地剖析錯解，是培養學生思維的主動性、靈活性、開闊性、嚴密性的重要途徑.

如在直角三角形ABC中，a=3，b=4，邊長c為多少？許多學生會迅速回答c=5.經反問：這個答案正確嗎？學生重新審題，聯想后發現答案不完整，應討論B是直角和C是直角兩種情況.然后又啟發學生探討錯誤根源：認為C當然是直角，將思路局限于“勾三股四弦五”的結論中，未能認真審題，嚴密地對問題進行分析、判斷.

又如：已知數列{an}的通項公式是a=45-3n，問該數列前多少項和最大？最大值為多少？

板書如下錯解：a-a=（45-3n）-［45-3（n-1）］=-3

所以數列{an}是公差d=-3的等差數列，且該等差數列是遞減數列.

設前n項和最大，則從第n+1項起都是負數，從而

45-3n≥045-3（n+1）＜0

解得14＜n≤15

n=15，即數列{an}前15項和最大，最大值為S=15×42+×（-3）=315.

然后讓學生討論上述解法是否正確，若不正確則要求找出原因.學生在教師引導下剖析該解題的錯誤在于“從第n+1項起都是負數”是片面的，而應是“從第n+1項起都是負數或零”，從而得出：45-3n≥045-3（n+1）≤0

解得14≤n≤15

所以n=14或n=15，即數列{a}的前14項或前15項和最大，

最大值為S=S=315.

錯解的根源是忽視了a=45-3×15=0，也忽視了零對和的大小沒有影響等隱含的條件.通過對此題的剖析，學生認識到解決問題是應全面審查問題，挖掘出其隱含的條件.

總之，錯解并非是沒有價值的，而是學生的錯解是一種重要的教學資源，問題在于我們怎樣處理它.若我們能對典型的錯解認真加以剖析，則不僅能消除學生頭腦中不正確的東西，而且能有效地鞏固正確的知識，提高學生的認識水平和解決問題的能力.

錯解不是作為失誤的指標，而是作為每個學習過程所伴隨的現象.如果教師對錯誤的原因進行分析，就能更好地理解學生頭腦中的想法.對學生而言，如果他能在教師和同學的支持下，按照自己的想法解釋自己的錯誤，而不是別人直接給他一個“正確答案”，他就能更加有效地整理自己的觀點，檢查自己思維過程的合理性，同時也使其他同學和教師更加清晰地理解他的真實想法，弄清“病”因.數學是每個人自己必須重新建構的東西，不是從外部灌輸進去的客觀知識的完整架構.教師的任務不是僅僅傳播科學的數學知識和展示正確的思想認識，更重要的是營造一種寬松的環境，促進學生對已有的個性化理解進行重新建構，對“錯解”進行重新的認識.在改變錯誤的過程中，面對自己的錯誤解答，他們也會羞澀，心理上也有壓力，作為教學組織者、引導者和合作者，教師有必要教會學生積極地面對這樣的挫折，主動地克服錯誤，快樂地獲得新知并發展能力.

參考文獻：

［1］賈金平.數學課堂教學中學生錯解的病因分析與對策［J］.教學與管理，2006，（7）.

［2］學科網（WWW.ZXXK.COM）.高中數學易錯題舉例解析.學海泛舟系列資料，2009，8.