三次函數圖象性質的研究和應用舉例

鄒立國

〔關鍵詞〕 數學教學；三次函數；圖象；性質；應用

〔中圖分類號〕 G6３3.６

〔文獻標識碼〕 Ｃ

〔文章編號〕 1004—0463（2012）１２—0083—０2

三次函數的有關問題在近些年的高考中頻繁出現，甚至出現在壓軸題中，但教材只從求導、求極值、求單調區間等角度進行一些零碎的、淺顯的探索.為此，本文試圖用初等數學方法較為系統地研究它的圖象、性質.

一、三次函數y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象性質

1．定義域為R

2．值域為R

3．單調性

因為，f′（x）＝３ax２+2bx+c，所以?駐=4b2-12ac=4（b2-3ac），于是：

（1）當a＞0時，

①當b2-3ac＞0時，方程f′（x）=0有兩個不等的實根x1，x2（不妨設x1＜x2），則f′（x）=3ac2+2bx+c的圖象如下圖1所示，三次函數y=f（x）的圖象如圖2所示：

■

不難得到：y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，x1）∪（x2，+∞）上是增函數，在[x1，x2]上是減函數.

②當b2-3ac=0時，方程f′（x）=0有兩個相等的實根，f′（x）=3ax2+2bx+c的圖象如圖3所示，三次函數y=f（x）的圖象如圖4所示：

■

可知y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是增函數.

③b2-3ac＜0時，方程f′（x）=0沒有實根，且f′（x）＞0恒成立,所以y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是增函數.

（2）當a＜0時

①當b2-3ac＞0時，方程f′（x）=0有兩個不等的實根x1，x2（不妨設x1＜x2），則f′（x）=3ax2+2bx+c的圖象如下圖5所示，三次函數y=f（x）的圖象如圖6所示：

■

不難得到：y=ax3+bx2+cx+d在[x1，x2]上是增函數，在（-∞，x1）∪（x2，+∞）上是減函數.

②當b2-3ac=0時，方程f′（x）=0有兩個相等的實根，f′（x）=3ax2+2bx+c的圖象如圖7所示，三次函數y=f（x）的圖象如圖8所示：

■

可知y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是減函數.

③b2-3ac＜0時，方程f′（x）=0沒有實根，且f′（x）＜0恒成立,所以y=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上是減函數.

4．三次方程的實根

（1）當b2-3ac＞0時，方程f′（x）=0有兩個不等實根x1，x2，結合前面性質3易知：

①當f（x１）·f（x２）＞0時，方程f（x）=0有1個實根；②當f（x１）·f（x２）=0時，方程f（x）=0有2個實根；③當f（x１）·f（x２）＜0時，方程f（x）=0有3個實根.

（2）當b2-3ac≤0時，函數y=f（x）在（-∞, +∞）上是單調函數，方程f（x）=0有1個實根.

5．奇偶性

（1）假設f（x）為偶函數?圳f（－x）＝f（x）恒成立?圯2ax3+2cx=0恒成立?圯a=c=0，而a≠0，所以f（x）不可能是偶函數.

（2）假設f（x）為奇函數?圳f（－x）＝-f（x）恒成立?圯2b2+2d=0恒成立?圯b=d=0，所以b=d=0時，f（x）是奇函數，此時f（x）=ax3+cx.

6．圖象的對稱性

將y=ax3+bx2+cx+d變形為：y=a（x+■）3＋（c-■）（x+■）＋■，而y=ax3+（c-■）x是奇函數，圖象關于原點中心對稱，所以函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心是（－■，■）.

二、三次函數的圖象和性質的應用

例1已知函數f（x）＝■x3-（4m-1）x2+（１５m2-2m-7）x+3在實數集R上是增函數，求實數m的取值范圍.

解：∵三次函數f（x）在R上是增函數，

∴b2-3ac≤0,即［-（４m-1）］2-3×■×（１５m2-2m-7）≤0，得2≤m≤4.

例2設函數f（x）＝x3-（m+1）x2+mx（m＞1)，x１，x２是f（x）的兩個不同的極值點，若不等式f（x１）＋f（x２）≤0成立，求實數m的取值范圍.

解：f（x）=x3-（m+1）x2+mx，又f（x1）+f（x2）≤0，即極大值和極小值之和小于等于0，所以中心對稱點在x軸上或x軸下方，故

■=■≤0，即2m2-5m+2≥0，

解得m≥2或m≤■ (舍去) ，所以m的取值范圍為m≥2.

編輯：謝穎麗