課堂教學對學生數學思維的培養

摘要：高等學校的課堂教學，不僅要講授書本上的知識，更重要的是培養學生正確的思維方法和思維習慣，本文從例題入手，就如何培養學生的數學思維，談談自己的認識。

關鍵詞：數學思維；課堂教學；創新；能力

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）01-0199-02

隨著社會經濟的發展，人們逐漸意識到，高等學校培養的不能只是會做題、考高分的所謂學習型人才，而應該是思維超前、有創造性的創新型人才。高等學校的教學，應該在學生學習課本知識的基礎上，掌握學習知識的方法，并能夠將學到的理論知識，解決實際問題。換句話說，高等學校的教育，不僅是傳授學生書本知識，更重要的是培養他們分析問題和解決問題的能力，特別是培養有創新性思維的能力。

數學思維是人類對數學對象的理性的認識過程，廣義的理解包括利用數學這個工具，分析和解決實際問題的思考過程。數學思維是以認識數學對象為任務，以數和形為思維對象，以數學語言和符號為思維載體，并以認識和發現數學規律為目的的一種特殊的思維形式，這是一種高水平的邏輯思維。而要使學生具備創新能力，數學思維的培養是非常重要和必不可少的。數學是一門教人聰明的學科，高等學校數學課程的課堂教學更應注重對學生數學思維的培養。下面結合課堂數學教學的內容，談談數學思維的特征。

一、創造性

數學思維的創造性是指思維活動的創新精神，是在新穎地解決問題中表現出來的智力品質。思維的創造性不同于一般的思維活動，它要打破常規的解決問題的方法，將已有的知識或經驗進行改組或重建。高水平的創造性思維是指發現了前人未曾發現的新事物，解決了前人未曾解決的問題。一般高水平的創造性思維是指數學家和杰出的數學人才在數學研究中所進行的思維活動。比如數學史上，解析幾何的創立、微積分的發現、群論的完成、非歐幾何的誕生等，都是高水平的創造性思維的結果。低水平的創造性思維是指這種思維的結果已為他人所完成，但相對于思維者本身而言，是發現了新事物，解決了新問題。一般低水平的創造性思維是指學生在數學學習中所進行的創造性思維活動，即學生能獨立地、自覺地掌握數學概念，發現定理的證明，發現教師課堂上所講例題的新穎解法等，這些都是教師在課堂上引導學生進行創造性思維的具體表現。比如在圖論中，要證明命題“完全m叉樹，當其樹葉數為t，分支數為i時，一定有（m-1）i=t-1?！彼梢岳弥苯臃椒ㄗC明，即利用樹和完全叉樹的定義，有mi=t+i-1，整理得出結論。還可以啟發學生，將m叉樹看作是每局有m位選手參加比賽的單淘汰賽計劃表，樹葉數t表示參加比賽的選手數，分支點數i表示比賽的局數，由于每局比賽將淘汰m-1位選手，故比賽結果共淘汰（m-1）i位選手，最后剩下一位冠軍，因此（m-1）i+1=t，即（m-1）i=t-1。這種證明方法即新穎又有趣，不但培養了學生獨立思考、創新思維的能力，又可以活躍課堂氣氛，提高學生對枯燥數學的學習興趣，絕對是一舉兩得的好事情。

二、嚴謹性

數學思維的嚴謹性是考慮問題要嚴密、有據。比如，數理邏輯的推理證明中，有時會遇到下面這種情況：（1）?坌xF（x） P；（2）F（c） US（1）；（3）?堝xG（x） P；（4）G（c） ES（3）；（5）F（c）∧G（c） T（2）（4）；（6）?堝x（F（x）∧G（x）） T（5）

此例的前提包括?坌xF（x） ，?堝xG（x），但邏輯推理的正確與否，與前提引入的順序有很大關系。上面推理過程中，先引入的是全稱量詞?坌xF（x），利用全稱指定規則，得到F（c），這是正確的，接著引入存在量詞?堝xG（x），利用存在指定規則得到G（c），此時出現了概念性的錯誤，因為此c非彼c，不能再用同一個字母c表示了，而應指定為G（a），但這樣就不能推導出結果。因此在推理證明時，當全稱量詞和存在量詞同時出現在前提中時，一般要先引入存在量詞，后引入全稱量詞，這時兩個c才是相同的。這些錯誤在數學教學中經常碰到，需要教師在教學的各個環節，不斷地強調，要求學生解題的每一步，都要有依據，要符合邏輯，讓學生逐漸養成嚴謹的思維習慣。

三、抽象性

數學思維的抽象性是方法和對象的抽象性。對于不同的實際問題，經過多次抽象而得到的形式化的結果。比如在高等數學課程中，求“曲邊梯形的面積”時，得到一個結果：A=■■f（ξ■）Δx■；而求“變速直線運動的路程”時，又得到結果：S=■■v（?子■）Δt■。從表面看，他們一個是數學問題，另一個是物理問題，應該沒有什么關系，但如果只考慮它們的數學表達式，卻是同一種形式的極限，即為“黎曼和”。換言之，從抽象數學思維的角度講，都可以理解為“函數在某區間上的定積分”。有了定積分的概念、性質和計算方法，這兩個實際問題用同一種方法就迎刃而解了。所以在課堂教學中，要讓學生充分理解這種抽象性，去偽存真，找到解決問題的一般方法。

四、靈活性

數學思維的靈活性是不會過多地受思維定勢的影響，善于從舊的思維模式或通常的制約條件中擺脫出來。思維定勢也稱為慣常思維，它是遵循已有的思路去考慮問題，反映了思維過程的連續性、漸進性和聯結性，是思維慣性的表現。而靈活性通常反映為逆向思維，它的基本特征是：從已有的思路的反方向去思考問題，反映了思維過程的間斷性、突變性和反聯結性，是對思維慣性的克服。而數學思維既需要慣常思維，又需要逆向思維。在解決某些問題時，逆向思維往往顯得更加重要。

五、廣闊性

數學思維的廣闊性是從多方面思考同一個問題，可以表現為對同一個事實做出多方面的解釋，對同一個對象用多種方式表達，對同一個問題考慮出多種不同的解決方案。比如高等數學中，計算三重積分I=■z■dv，其中Ω為x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz之公共部分。下面分別用三種方法解決這個問題。

（1）在柱面坐標系下，將其化為三次積分為：

I=■dθ■rdr■z■dz

（2）在球面坐標系下，將其化為三次積分為：

I=■dθ■cos2ψsinψdψ■r4dr

（3）用截痕法，將其化為先二后一的積分為：

I=■z2dz■d?滓+■z2dz■d?滓

這三種方法都可以得到正確的結果，但通過對計算過程比較發現，利用截痕法計算最簡單。此時要引導學生仔細觀察，截痕法在什么情況下使用最簡單，通過舉例，讓他們自己總結出：當被積函數為一個變量的函數時，利用截痕法，先計算的二重積分，實際上是積分區域（截面）的面積，此時三重積分轉化為定積分。因此在課堂上，教師要和學生一起分析，引導學生去思考、去實踐，最后找到解決問題的最佳方案。

總之，高等數學的課堂教學，除了要教會學生課本知識外，更要有意識地培養學生正確的思維方法和思維習慣，若能使學生潛移默化的將其滲透到自己的生活和將來的工作中，他們將終身受益。

參考文獻：

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作者簡介：王新心（1964-）女，河北唐山人，理學學士，副教授，主要從事高等數學、線性代數及概率統計等課程的教學研究工作。