數學活動經驗:達成教學目的 培養思維能力

數學活動經驗是指學生經歷數學活動后留下的直接感受、體驗和感悟。它既包含對知識的理解，也包含樸素的數學思想方法。數學活動經驗構成了后續數學學習效果的一切個體性因素。數學活動經驗和數學教育一樣是個綜合體，作為數學學習的前期準備，數學活動經驗的改造和重組具有無比廣大的挖掘空間。

一、數學活動經驗的教育價值

首先，數學活動經驗是促進數學理解的需要。我們經常驚詫學生的理解瓶頸，也驚嘆學生的理解能力。這是學生的經驗系統與教師的經驗系統差異導致的。這種差異同時也存在于學生之中。學生認知特點的多樣性和認知水平的差異性也會導致學生理解數學核心概念能力的差異性。教學要求異中求同，同中存異。中庸之道將會幫助教師設計好有效的數學活動，喚起學生已有的生活經驗和認知經驗，生成有效的數學活動經驗，使得達成教學目標的指向性更強。

其次，數學活動經驗是生成數學思想方法的需要。數學思想方法是一種高度的抽象，其本身就是經過從具體到抽象，從特殊到一般的過程發展而來的，數學思想方法的根源在數學活動經驗中。數學活動經驗生成數學思想方法雖然具有客觀基礎，但還需教師充分發揮教育智慧，引導學生去“悟”。教師的智慧在于進行活動設計時，挖掘有利于生成數學思想方法的一切有利因素，還在于提供學生“悟”的化學反應環境，讓其經歷整個過程，由經驗上升到方法，從經驗抽象成理論。

最后，數學活動經驗是發展學生元認知的需要。元認知是學生對自我認知過程的認知和調節能力。從數學活動經驗到數學學習結果，這個過程性經驗本身就是元認知發展的一個具體的素材。這一過程是一個認知過程充分展開的過程，是一個認知抽象概括的過程，是一個經驗升華的過程，只有對認知過程有充分的感受，才能對自我監控能力的培養有所助益。

二、數學活動經驗的前瞻性

要想運用好數學活動經驗，教師在時間這條橫軸上必須有全局的考慮，具備一定的前瞻性，使數學學習成水到渠成之勢。

再一次完成了一次函數圖像的教學后，筆者特意對兩個版本的一次函數圖像前數學經驗進行了比較。在教材的編排上，北師大版在七(下)安排了“變量之間的關系”，而浙教版在八(下)一次函數前安排了一個課時的“常量與變量”。再仔細觀察變量之間的關系這四個課時的單元教學目標(經歷探索具體情境中兩個變量之間關系的過程，進一步發展符號感和抽象思維；能發現實際情境中的變量及其相互關系，并確定其中的自變量或因變量；能從表格、圖像中分析出某些變量之間的關系，并能用自己的語言進行表達，發展有條理地進行思考和表達的能力；能根據具體問題，選用表格或關系式來表示某些變量之間的關系，并結合變量之間的關系，嘗試對變化趨勢進行初步的預測；體驗從運動變化的角度認識數學對象的過程，發展對數學的認識)，我們不難發現，在學習一次函數圖像前，兩種版本教學下的學生數學活動經驗存在如下差異。學習北師大版的學生了解兩個變量之間的關系可以用表格、圖像、關系式表示；看到圖像、表格可以解讀出變量與變量之間的關系；體會到變量之間變化趨勢的連續性。簡而言之，學生已經為一次函數圖像的學習建立了良好的活動經驗。我們再來比較兩者的相同點，浙教版將“常量與變量”放在一次函數這一章節第一課時，更多的是建立在知識層面，而非內化為學生的經驗層面。從作為經驗的生發性與作為知識的生發性方面進行比較，經驗的生發性更優。

良好的數學知識結構具有穩定性、聯系性和自我生長的活力。良好認知結構的建立需要教師在數學活動經驗積累中做長久的考慮，使數學活動經驗發揮長期的效果。

三、數學活動經驗的現實性

數學活動經驗要為達成課時目標，增進數學理解服務。數學的抽象和概括能力是數學學習的核心能力，而學生認知的差異性，抽象概括能力的不同，導致學生課時目標達成的差異。抽象、概括得不徹底又導致數學運用力不足，學習困難從此開始。組織數學活動既要有上面所說的長期考慮，也需要立竿見影的短期效果。從個體學習數學的共性來考慮，約90％的學生都有其發生源，只要教師組織好共性的數學活動，以此挖掘學生個性的數學活動經驗，對于數學的抽象和概括也能達成教學目標。

平方差公式教學是初中數學的一個典型的教學內容，筆者曾做過一個對比實驗。選取班級中數學抽象概括能力最強的3位學生編為A組，選取能力一般的10名學生編為B組。教師在講解(a＋b)(a－b)²＝a²－b²的結構和例題后隨即進行隨堂檢測。檢測結果：A組學生正確率為100％，B組學生正確率為40％。

差異存在的原因主要有這樣兩個方面。一是先天性的原因決定了教學結果，學生對平方差公式結構的把握能力強者仍強，弱者仍弱。二是學習現狀必然還存在如下一種狀態：學習材料高度的抽象性和符號化導致學生認知的差異，但對于平方差公式的結構，學生已有的生活經驗中必定存在一種形式與之相匹配，這種存在形式也有高低之分。數學教學就是要提供這樣一種數學活動經驗，縮小差異，讓學生理解、掌握這種符號結構，這是教學的責任。所以，緊扣目標給學生提供簡潔的數學活動，有利于有效數學經驗的獲得。

以平方差公式教學為例，我們先來觀察平方差公式教學中課本提供的活動材料。

計算下列各題：

(1)(x＋2)(x－2) (2)(1＋3a)(1－3a)

(3)(x＋5y)(x－5y) (4)(y＋3z)y－3z)

平方差公式的結論表述：(a＋b)(a－b)²＝a²－b²

如此簡潔、抽象的結果，如何設計數學活動，如何挖掘學生的活動經驗，才能達成對公式結構的深入理解。簡單性和針對性是數學活動設計、數學經驗挖掘的原則。數學活動經驗要簡潔而有規律，讓學生用80％的精力去完成任務，20％的精力去觀察、比較，抓聯系、抓本質，獲取經驗。

課本試圖讓學生得到這樣的活動經驗：兩項式乘以兩項式，該得到四項式，但實際情況是得到了兩項式，通過這一與常規結果不一樣的現象，試圖建立銷項的統一規律和一個平方差的結構。筆者為達成預定目標，增加了如下活動。

計算下列各題：

(1)(－x－2)(x－2) (2)(1＋3a)(1＋3a)

(3)(－x＋5y)(－x＋5y) (4)(－y＋3z)(y－3z)

希望學生關注結構的本質即兩項之和乘以兩項之差，項的位置是非本質屬性，而項的符號才是結構的關鍵。數學活動經驗運用是課堂上數學理解求同存異的有效手段。

四、數學活動經驗的發展性

數學活動具有運動的特性，數學活動經驗本身也蘊涵樸素的數學思想方法。數學思想方法的建立是一個動態的過程，是一個從具體到抽象的領悟過程。兩者融合，效率明顯。

在施教華師大版的“三角形的外角”這一內容時，學生給筆者上了精彩的一課。三角形的外角和等于360°，是其中一個核心內容，也是課堂的主要著力點。其中一個活動：學生驗證或說明三角形的外角和等于360°。可想而知至少可以得到以下兩種方法。一種是剪下兩個外角拼接成一個周角，可得360°。另一種是通過添加平行線后使兩個外角轉移形成一個周角。在小結這兩種方法的過程中，筆者很隨意地提了一個問題：思考兩種方法的相同點和不同點。學生領悟出來的經驗讓筆者感悟頗深。其中—個學生回答：“剪下來拼接是對實物角進行移動，而說明或證明也是對角度進行移動，一個是手的操作，—個是大腦中的移動。”多好的思想方法，這不就是以后幾何證明中，證明角、線段相等的策略性知識嗎?不就是所謂的數學思想方法嗎?所謂的對自己認知的監控不就是如此點滴積累而成的嗎?

從小處看，數學活動經驗為達成教學目標服務。從大處看，數學活動經驗為數學學習服務，為數學思維方法的建立，為數學的思考服務。

作者單位 浙江省杭州市余杭區太炎中學

(實習編輯 陸燕)