關于小數除法數學建模的思考

最近，我在教學中遇到了一道五年級“小數除法”中的應用題：師傅0.5小時織布7.2米，是徒弟每小時織布米數的1.2倍。徒弟每小時織布多少米？本來認為沒什么太大難度的題目，學生的解答卻出乎我的意料之外。以下是部分學生的解答：①7.2×0.5=3.6（米）， 3.6÷1.2=3（米）；②7.2÷1.2=6（米）；③7.2×2=14.4（米）， 14.4÷1.2=12（米）；④7.2÷0.5=14.4（米），14.4÷1.2=12（米）。

我對學生這幾種做法做了如下分析：第一種做法的錯誤原因是，學生根據已知條件0.5小時織布7.2米，知道要先求出師傅每小時織布的米數，并隱隱感覺到肯定是比7.2米大，在這些學生的潛意識里乘法是使結果變大，因此，他們想到了用乘法來計算；第二種做法的錯誤原因是，學生誤把7.2米直接當成了每小時師傅的織布米數來進行計算；第三種做法正確，通過跟這些學生談話，我了解到這部分學生能感覺到0.5小時是1小時的一半，所以7.2×2就相當于求出了師傅每小時的織布米數；最后一種做法也正確，但這部分學生實際上也說不清楚為什么用7.2÷0.5來求每小時師傅的織布米數。

結合上述學生的錯誤，我們不難發現學生無法弄清三個關鍵的問題：（1）一個數（0除外）除以0.5，為什么會變大？（2）為什么7.2÷0.5會表示每小時師傅的織布米數？（3）這個算式的直觀算理意義到底是怎樣的？學生對這三個問題看似明白，實則對其內在的、本質的意義并不清楚。回顧我們在教學“一個數（0除外）除以比1小的數，商比原數大”這個規律時，教師一般是通過舉出幾個除法算式，讓學生縱向比較其中的變量和不變量，進而發現這個小數除法規律，再通過學生自己舉例驗證，最終確認了這個規律的正確性。這樣通過舉例驗證發現規律的教學方法，看似科學，然而實際上學生的思維只是被教師牽著走，沒有形成對該規律的深層本質意義認識。因此，學生在小學階段長達4年的計算學習中對于乘法和除法已經產生了根深蒂固的錯誤認識，即大部分剛剛進入五年級的學生總認為乘法就是讓一個數變大，除法就是讓一個數變小。

由于小學生的認知水平大都處在形象階段，如果沒有關于算理本質直觀的認識，讓學生經歷從直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，就很難被學生真正認同。那么，怎么破解這個教學難題呢？讓我們一起來回顧一下學生從一年級開始是如何學習加法和減法計算的。當學生學習1+1=2時，教師們往往會擺出一些學生熟悉的實物，例如，擺蘋果，當教師擺出：在1個蘋果旁再放上1個蘋果。學生能直接說出“是2個蘋果”。因為有了具體的實物模型，學生很容易理解了算理，從而掌握了加法；接著，教師在2個蘋果中拿走一個蘋果，學生進而掌握了減法2-1=1。到了二年級，學生們通過將相同的事物擺放在一起求和，發現用連加寫起來比較麻煩，從而發現并掌握了表內乘法；再從把具體事物平均分中認識了表內除法。由此不難看出，對于整數部分的加減乘除運算，學生理解起來沒有問題，其原因是基于學生對于加減乘除運算的算理意義比較清楚，四種運算中的任何一種都可以通過具體的實物模型展示出來，這對學生掌握這些抽象知識起到了重要的作用。因此，在計算教學中，我們不應該只把注意力放在訓練學生計算的準確性上，而應該回歸算法的本源，讓學生明白一個數（0除外）÷0.5的直觀算理意義，幫助學生構建出相對應的數學模型。這對于讓學生真正掌握小數除法有著非常重要的意義。

然而，“一個數（0除外）除以小于1的數，除數是小數”是無法用實物展示的，又怎么讓學生自己形成對算理意義的認識呢？我們一起來看看對于這個簡單的初等代數算式，不同學段的教師又是怎么做的呢？在初中函數教學中，教師通過反比例函數y=k/x圖像的特點構建出了相對應數學模型（圖1）。學生通過觀察函數圖像很容易發現，當K>0時，就以K=6的函數圖像為例，在第一象限中，通過雙曲線函數圖像學生可以直觀發現y隨著x的變小而逐漸變大，特別x小于1之后，隨著x的繼續變小，y趨向于無窮大。在小學六年級分數除法計算教學中，例如，教學2÷時，教師通過畫線段圖的辦法（圖2），讓學生明白了2÷=2÷2×3。即先求出小時行了多少千米，然后解決1小時走了多少千米。通過觀察以上兩個學段的教學，我們不難看出，隨著數學知識的越來越抽象，我們的計算教學也由原來的實物模型展示演變發展成了構筑“簡單數學模型”。學生通過直觀的數學模型，采用數形結合的方法理解起算理來也自然要容易得多。

但是，對于沒有學習過分數乘除法和函數圖像知識的五年級學生來說，無法采用平均分等方法來解釋，面對7.2÷0.5這個算式，具體表示怎樣的數學模型無疑將是一個非常困難的事。然而，聰明的學生通過畫相對應的線段圖發現了蘊涵其中的數量關系，也能做出第③種算法，但這只是學生通過觀察線段圖發現的數量之間的倍數關系，還是沒有真正理解一個數（O除外）除以0.5的具體算理意義。這時，教師們往往利用公式：師傅每小時的織布米×織布時間=織布總米數，將這個公式進行變形——師傅每小時的織布米=織布總米數÷織布時間，讓學生明白了第④種算法。然而，這種方法帶有死記硬背的味道，也無法形成真正的算理認識。經過一番思考，我從小數除法的豎式中找到了靈感，做出了自己的嘗試。如下：

從上圖不難看出，在計算除法時，我們利用商不變的規律把除數0.5和被除數7.2都擴大了原數的10倍，小數除法直接轉化為整數除法72÷5，在這轉化過程中，線段圖中原先代表0.5小時織布7.2米的線段由1段擴大變成了10段，再將10段平均分成5份，每一份所代表的線段則剛好表示1小時的織布米數了。由此可見，通過轉化的方法，我們同樣能夠利用線段圖幫助學生構建出7.2÷0.5的直觀算理模型，這有助于加深學生對于除數小于1的小數除法的意義認識。

在數學學習的過程中，學生會經歷由形象思維過渡到抽象思維的發展過程。隨著數學學習的深入，數學的相關知識會越來越抽象，教師教學需要立足于學生原有的認知起點，抓住數學本質的東西及其關系，把非本質的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉，幫助學生構建出直觀容易理解的數學模型，進而借助形象思維和抽象思維的相互作用，加深學生對于算理本質的深層理解。綜上所述，在教育改革的關鍵時期，如何在課堂中幫助學生進行數學建模，促進學生思維由直觀認識向抽象思維發展，值得我們每一位教育工作者深入研究。

（責編 藍 天）