畫圖

華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休。”“數”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數”與“形”矛盾的統一。畫圖是學生解決問題的重要策略。它通過圖形把抽象問題具體化、直觀化，達到使學生理解題意和正確地解決問題的目的。因此，教師引導學生掌握通過畫圖來解決問題是非常重要的。

一、抓住“問題”，引發學生畫圖的需要

馬斯洛的需要層次理論認為，人類最高層次的需要就是自我實現需要，它主要是滿足個體把各種潛能發揮出來的一種需要，如不斷地追求成功、較好地解決問題等。用畫圖的策略解決問題，首先要引發學生畫圖的需要。教師可根據實際問題，引領學生自然而然地產生“這道題看來應該畫一畫圖”的想法以及相應的做法。學生在理解題意有困難時，面對抽象的文字一籌莫展時，看到冗長的文字信息厭煩時，都會產生畫圖的需要。

1．化繁為簡。

如：“梅山小學有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？”教師在學生讀題后問：“光看題中的文字敘述，你感覺怎樣？”學生回答：“感覺這里面的關系有點亂，有點繁瑣，一下子想不出什么辦法來。”教師緊接說：“確實是這樣，那可以用什么方法幫助我們更清楚地理解題目所給的信息呢？”當學生的“第一感覺”得到教師的尊重時，學生畫圖的動機和需要也隨之產生了。

2．化抽象為形象。

心理學研究表明：人們對學習材料的編碼有形象編碼和語義編碼兩種，如果一個材料不僅有形象編碼又有語義編碼，則是雙重編碼。小學生的思維處于由具體形象思維向抽象邏輯思維發展的階段，運用形象和語義的雙重編碼策略能取得事半功倍的效果。如一道判斷題：“一個長方形花壇，長和寬都增加10米，面積就增加100平方米。”在學生讀完題后，教師問：“要知道增加的圖形是什么形狀該怎么辦呢？是邊長為10米的正方形嗎？”學生很快就動筆畫起圖來，化抽象為具體、化深奧為淺顯、化枯燥為生動，學生通過畫圖很容易就理解了抽象的數學知識。

二、抓住“根本”，培養學生畫圖的能力

所謂表征就是用某一種形式，將事物和想法重新呈現出來，以達到交流的目的；當其所表現的意義能切實掌握后，表征可進一步地成為思維的材料，從而把問題簡單化。關于解決問題策略的表征方式，一般認為其主要通過命題網絡、產生式、圖式等方式表征的。畫圖就是根據數學問題畫出實物簡圖、示意圖、矩形圖、樹形圖、集合圖、線段圖等直觀圖形表達題意，以幫助學生正確地把信息進行加工，正確地審題、分析和檢驗，從而使數學問題得以順利解決的策略。

1．在知識的混沌中畫圖——釋疑。

心理學家萊什指出：“圖像表征是指當物體消失而能在心中制作原物的影像作為思考的材料，在低年級的學生當中常見的圖像表征就是畫圈。”如一年級有這樣一題：“一列隊伍，小方從前往后數排在第六個，從后往前數排在第七個，這列隊伍一共有多少人？”學生往往簡單地列式為6+7，而混淆了基數和序數這兩個概念的最本質特點。教師在此時就應該及時引導學生：“我們不妨來畫一畫這一列隊伍的每一個小朋友，一個小朋友就用一個小圓圈代替，大家試一試！”學生在教師的帶領下，逐步畫出了一幅意思非常明確的圓圈圖（如下），再涂上顏色，學生自然而然就會明白錯誤所在了。

2．在算理的探究中畫圖——明理。

心理學家加涅在認知性數學技能的形成過程中認為，可以創設各種情境促進遷移，即促進一種智力技能向更高一級技能遷移。如整數乘法技能可作為從屬技能向分數乘法技能遷移。如教學“分數乘整數”時，教師先出示一道簡單的習題：“做一朵黃花用4分米黃綢帶，做3朵這樣的綢花，一共用幾分米黃綢帶？”當學生說出算式4×3和想法后，教師再出示例題：“做一朵紅花用十分之三米紅綢帶，做3朵這樣的紅花，一共用幾分之幾米紅綢帶？”教師在創設情境后，即刻借助長方形線段圖（如下）來幫助學生思考。在圖的幫助下，學生很容易就理解了分數乘整數的意義以及算理。

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3．在思維的困惑中畫圖——解惑。

問題表征是人們在解決問題時所使用的一種認知結構。問題表征的質量影響著問題解決的難易程度，甚至是問題能否成功解決的關鍵。在波利亞的“解題表”中就含有“畫張圖”“你能不能重新敘述這個問題”“你能不能用不同的方法重新敘述它”這類與表征有關的啟發式策略。例如：“小明原有一些畫片，送給小軍一半還多1張后，還剩18張。小明原有多少張畫片？”對于這里的“一半還多1張”，雖然很多學生能夠用言語來進行表征，即“先送出去一半，又送出去1張”，但這種表征形式對于處在以具體形象思維為主的小學生來說，實在是太抽象了，結果往往也令人困惑。學生在解答時總會犯這樣的錯誤，即“18×2+1或（18-1）×2”。看來，學生的問題表征并沒有落到實處。于是，教師不妨提醒：“你能不能用不同的方法重新敘述它，理解它呢？畫張圖如何？”學生會畫出類似如下的矩形圖或線段圖，這樣的表征更加直接指向問題的實質，形象地凸顯了問題的數量關系，于是困惑也就迎刃而解了。

三、抓住“關系”，體現畫圖的作用

在解決問題中，畫圖策略主要利用圖形的直觀，從而搜尋到解決問題的思路和方法，是一種具體化的思維方式。在教學解決其他問題的策略時，畫圖也可穿插交替使用，以幫助學生更好地理解數量間的關系。但畫圖只是一種手段，而不是解決問題的目標。因此，教師在畫出示意圖后，引導學生通過示意圖觀察信息之間的關系，尋求數量之間的關系，才是正確地解決問題的關鍵。

如在“解決問題的策略——替換”一課中，由于本課涉及的數量關系比較復雜，讓形象思維占主導地位的小學生進行抽象思考，難度較大。線段圖不僅可以表示任何具體的數量，而且簡潔直觀。學生內隱思維操作比較難理解的三個核心問題“怎么替換”“替換后的份數”“替換后的總量”，通過線段圖的物化操作躍然紙上，從而對替換策略中變與不變的數量關系理解得更為透徹。

例如：“王叔叔買了3本《成語故事》和5本《兒童文學》，一共花了50元。一本《成語故事》比一本《兒童文學》貴6元，《成語故事》和《兒童文學》的單價各是多少元？”

師：《成語故事》和《兒童文學》的單價是什么關系呢？（相差關系）

師：如果讓《成語故事》替換成《兒童文學》，該怎么替換呢？該怎么畫線段圖呢？

生1：一本《成語故事》替換成一本《兒童文學》，就必須去掉6元。（演示劃去6元）

師：一本換好了，對嗎？其實，我們在換的過程中已經有一個錯誤產生了，誰能看出來？

生2：50-1×6。（若學生回答不出，教師可以問：“把1本《成語故事》替換成一本《兒童文學》，總價還是50元嗎？為什么呢？”）

師：現在換第二本，這本《成語故事》也要——（去掉6元）哪里又要變了？（演示：50-2×6）

師：現在你會計算了嗎？

師：如果是《兒童文學》替換成《成語故事》呢？總數又會發生什么變化？先自己試著畫一畫，然后交流。

……

教師把枯燥的講授過程變為動態的探索過程，使學生親歷、感受、體驗策略的形成過程，使學生在畫線段圖中發現、感悟、理解、解決問題，讓課堂成為學生展示自我的天地。

四、抓住“反思”，提升畫圖的策略

解決問題策略的學習實質上表現為一種程序性知識的學習。因此，其學習過程主要經過命題的表征(陳述性知識)階段，然后經過在相同情境和不同情境中的應用，轉化為產生式表征(程序性知識)階段，最后認識到一套操作步驟適用的條件，達到反省認知階段。只有到達了最后的反省認知階段，解決問題的策略才有可能在跨情境中廣泛遷移。

策略應是超越具體問題而存在的。學生所形成解決問題的策略從具體問題中來，對具體問題還存在著一定的依賴性。但是，隨著學習的深入，教師應引導學生超越具體問題，通過呈現 “不同題材”“不同結構”的問題，幫助學生在不斷變換的具體問題背后去尋找不變的東西，也就是策略。這樣，學生所獲得的有關解決問題的策略才可能是具有普遍的適用性，也才是真正的策略。

對于每一環節的教學，教師都要注重引導學生反思。例如，在用畫圖策略解決行程問題的教學中，在教學例題后，我讓學生回顧解題過程。學生發現是畫圖幫助我們很快地解決了問題，初步體會到畫圖也是一種解決問題的策略。在“試一試”教學中，我結合畫圖問學生：“你們在思考時是根據文字信息想的，還是看示意圖想的？”這樣讓學生深刻體會到畫圖是解決問題的有效策略，對畫圖這一策略產生好感。在練習中，學生通過不同類型“兩個運動物體在同一個地點相背運動”“兩個運動物體在兩地相向運動、相背運動”的變式練習，自發借助畫圖解決問題后，進一步加深了對應用策略價值的體驗，從而在以后解題時自覺使用。

（責編 藍 天）