種子與珍珠

一、疑惑

教學完長方體的體積的計算后，有這樣一道習題：

題1：一個包裝盒，如果從里面量長28厘米，寬20厘米，體積為8.4立方分米。爸爸想用它包一件長25厘米、寬16厘米、高18厘米的玻璃器皿，是否可以裝下？

學生在解決這個問題時，大多是從比較體積的大小入手：25×16×18=7200（立方厘米）=7.2（立方分米），因為8.4立方分米>7.2立方分米，所以可以裝下。多數學生認為，只要包裝盒的體積比玻璃器皿的體積大，就可以裝下。經過統計，在我校223名五年級學生中，大約有95%的學生都是這樣認為的。可實際上，8400÷28÷20=15（厘米），根本裝不下。

這樣的一個數學問題，竟然有那么多的學生都走入了誤區。

二、思考

這是什么原因呢？第一，學生剛剛學完長方體的體積計算，在思考和體積有關的問題時，就會不由自主地用體積公式進行計算，這是一種思維定勢。第二，學生的思維中還沒有形成如何把玻璃器皿裝入包裝盒的空間想象，也就是說學生在立體圖形的空間觀念的建立上僅僅是初步的。在這兩個原因中，最根本的原因應該是第二個。學生對于立體圖形的空間想象能力比較弱，所以思維定勢就會對其造成一定的干擾。

學生在一年級的時候就已經認識了長方體和正方體，為什么到了五年級對于立體圖形的空間想象能力還是那么弱呢？我通過對前面的教材進行了研究后發現，在教材的安排中，類似的問題在五年級上冊的“多邊形的面積”這個單元“整理與復習”后的練習十九中的思考題（見題2）出現；在與教材配套的課堂作業本中，在“三角形的面積”一課的課后也曾出現（見題3）。

題2：（1）右圖是用手工紙剪的一課小樹，

它的面積是多少？（單位：cm）

（2）用一張長45 cm、寬21 cm的手工紙，

能剪幾棵這樣的小樹？

題3：某班要做一些如右圖所示的直角三角

形小紅旗，一張長1.2m、寬0.8m的長方形紅

紙能做這樣的小紅旗多少面？

題2、題3這兩道題很有代表性，題3中的小紅旗做下來剛好，沒有剩余的紙；而題2的剪小樹則有剩余的紙，不能單純地考慮面積之間的關系。

如果把這3道題按題3、題2、題1的順序串起來看的話，知識點的層次性馬上就出來了。學生在這類問題的解決上其實是經歷了一個從平面圖形到立體圖形這樣一個發展過程的，從教材的習題編排就可以窺見一斑。那么，學生的這個難點能不能分散開來，提前在平面圖形的教學中滲透呢？

三、嘗試

帶著這樣的思考，在新一輪的五年級中，我們進行了嘗試。把作業本中的題3放到 “多邊形的面積”這個單元的復習課去解決。

以一個班的教學為例，教師首先出示如下題目。

題3：某班要做一些如右圖所示的直角三角形小紅旗，一張邊長為0.6dm、寬0.6dm的正方形紅紙能做這樣的小紅旗多少面？（為方便學生的操作，改變了一下數據）

教師先讓學生自己動手操作畫一畫、剪一剪，在學生感性認識的基礎上，再讓學生用數學方法解答。學生都能計算：0.6×0.6=0.36（平方分米），0.2×0.3÷2=0.03（平方分米），0.36÷0.03=12（個）。

接著，教師出示變式：“某班要做一些如右圖所示的直角三角形小紅旗，一張長0.8dm、寬0.7dm的長方形紅紙，能做這樣的小紅旗多少面？”學生有的陷入思考，有的忙于計算，還有的在畫草圖……

一部分學生有些茫然，因為用長方形的面積除以三角形的面積除不盡，有余數；一部分學生發現了玄機，躍躍欲試。

師：哪位同學覺得有困難，可以和大家交流一下。

生1（困惑地）：老師，我發現用長方形的面積除以三角形的面積除不盡。

生2：老師，我剛才也是這樣除不盡，后來發現不能這樣做。我們剛才在第一題時已經剪過了，如果在這道題也去剪的話，剪下來還有多的！

生3（激動地）：是的，是的，我畫過了，剪不完的，還有多的。這個是要畫一畫的，我畫出啦，還是12個！

生4：是的，是12個！

生5：錯了，可以剪16個！

師：這可奇怪了，為什么用長方形的面積除以三角形的面積除不盡呢？請同學們自己再畫畫圖或者剪一剪吧！

（學生進行活動…… ）

生6：我知道了，在0.8 dm的地方剪0.3dm只能剪兩個，還有剩余的。

生7：是的，兩條邊都有剩余的，不能剪完。不能剪完的時候就不能用長方形的面積去除以三角形的面積。只有剛好可以剪完的時候，才可以用面積除以面積！

生（激動地）：對的，對的，只有剛好剪完，才能除！

師：同學們真棒，自己動手發現了這個知識！剛才有同學爭論，有的說能剪12個，有的說能剪16個，你們說說是幾個？

（教師把學生不同想法的草圖投影在大屏幕上，見下圖，讓學生自己說說是怎樣想的）

師：是在0.7dm的地方剪0.2dm好，還是0.8dm的地方剪0.2dm好呢？

生8：在 0.8dm的地方剪0.2dm好，因為剛剛好，沒有剩余。

生9：對！0.8dm的地方剪0.2dm好，沒有多余，而且0.7dm的地方不管剪0.2dm還是剪0.3dm都有多的！

師：看來，剪的時候還要有方法呀！

生10：老師，我覺得要先看看哪條邊剪得剛剛好，就先剪，再剪有多的。

師：說得真好，同學們聽明白了嗎？我們來試試吧！將一個長40cm、寬12cm的長方形紙片，剪成長6cm、寬8cm的長方形小紙片，能剪幾個？說說怎么剪？并列式計算

（學生開始探究）

生11：我是這樣剪的，從40cm里剪寬8cm，從12cm里面剪6cm，都剛剛好。所以，我可以用大長方形的面積除以小長方形的面積，即40×12=480（cm2），6×8=48（cm2），480÷48=10（個）。

生12：老師，我的剪法和他是一樣的，但我的算式和他的不一樣。5×2=10（個），因為從40cm里剪寬8cm可以剪5個，從12cm里面剪6cm可以剪2個。

師：哎，聽明白了嗎？他是從長和寬剪的個數上來研究的。這也是一種很好的方法！

師：剛才我們研究過的：某班要做一些如右圖所示的直角三角形小紅旗，一張長0.8dm、寬0.7dm的長方形紅紙能做這樣的小紅旗多少面？ 在不能正好剪完的情況下，我們不能用長方形的面積除以三角形的面積，剛才是通過畫一畫知道可以做16面，如果長方形的長變成80m，寬變成70m呢？再去畫一畫你覺得方便嗎？

（這個問題給了學生極大的挑戰：對呀，像這樣的情況能不能列出算式來呢？幾個學生踴躍地站了起來：可以列出來的！可以的！）

生13：用4×2×2就可以了！

生14：對！0.8dm里面能剪4個0.2dm，0.7dm里面能剪2個0.3dm，這樣剪出來的是長方形，一個長方形里面又有兩個三角形，所以可以用4×2×2=16（個）。

對于生14精彩的回答，學生們都不由自主地給他鼓掌！

通過一系列的操作活動，學生有了具體的感知，形成了解題策略。這樣一來，再解決課本上的思考題就水到渠成了。

四、效果

有了平面圖形中的鋪墊與滲透，我在教學五年級下冊長方體的體積計算后，把教材中的題1安排在當堂作業的練習中，發現約有89%的學生都能算出包裝盒的高進行比較。只有11%的學生通過體積去比較。看得出，把平面圖形作為突破口，果然取得了喜人的效果，大多數學生能對題目產生一些空間想象。還有少數學生的空間觀念還是比較弱，還需要教師以后不斷地培養。

同時，對此內容，我又在練習課中安排了一道變式練習，繼續拓展延伸：一個包裝盒，如果從里面量長25cm，寬18cm，體積為7.65dm3。爸爸想用它包一件長17cm、寬16cm、高24cm的玻璃器皿，是否可以裝下？

五、反思

1．平面圖形是立體圖形的基礎。

學生空間觀念的培養，學生的空間想象能力，一直是小學數學空間與圖形教學中的難點。而這種隱形的能力，教師一般無法很直觀地看到，往往只能從學生的練習中觀察出來。數學知識的體系是階梯形螺旋上升的，前面學習的知識會影響到后面學習的知識。從知識本身而言，如果學生的腦海中一片空白，讓學生對立體圖形的擺放有一個空間想象，那是非常困難的。空間想象力的最重要的因素就是“表象”，沒有生動平面圖形的表象，就很難建立立體圖形的表象。歸根結底，要想解決好這個問題就要從平面圖形入手，平面圖形是立體圖形的基礎。如果學生能對平面圖形有了比較好的空間想象能力，那么，他們對立體圖形的想象就不會是空中樓閣般地虛無縹渺。

所以，基于這樣的思考，這個難點的突破就應該在平面圖形上，通過平面圖形的操作，就可以提前孕伏，降低難點。從教學實施的效果來看，學生通過對平面圖形的畫畫、剪剪、想想，產生了具體的表象，就可以對平面圖形進行生動的想象。而這種想象力也能比較容易地遷移到立體圖形中來，產生對立體圖形的具體表象。

2．操作——體驗，學生空間觀念培養的基石。

眾所周知，人的腦海中各種各樣的想象，源于生活中形形色色的各種事物在人腦中的表象。1000個讀者的心中有1000個哈姆雷特，不同的人有著自己不同的體驗和想象。學生要對抽象的立體圖形產生形象的想象，就必須建立在充分的體驗和感知上。動手操作最能帶給學生最形象、最直觀的體驗。

在本案例中，在操作上，學生先是剪一剪，最直觀地看到長方形里面剪出三角形；接著，慢慢地上升為讓學生畫一畫，在紙上把實物抽象成圖形；最后在腦海中形成表象。在學生的認知沖突上，教師先讓學生參與分層活動，使學生逐步地豐富并完善自己的空間觀念，為后面長方體體積的學習打下堅實的基礎。

正因為有了體驗，在后續的學習中，多數學生都能夠觸類旁通，對于長方體的問題能迎刃而解，自然地想到要考慮包裝盒的高能不能容納玻璃器皿的高。

3．解決數學問題，需要建模。

在本案例中，教師是通過建立數學模型來解決這一類的問題。教師先是選擇了平面圖形中的實際問題，把它轉化為初步的數學模型，同時尋找適當的數學工具來解決問題——在剪一剪、畫一畫等操作中體驗；在長方體體積的教學中再一次完善數學模型，解決了課本中的習題后，又進行了變式練習，讓學生感知：有時候變化一下玻璃器皿的擺放方向就可以把玻璃器皿放入包裝盒。

建模其實也是學生自我建構的過程。通過模型的變化，通過各種各樣的變式，學生的認知結構才能不斷地完善。建模的過程需要教師不斷地提供具有代表性的素材，讓學生通過數學模型的建立，在解決這類平面、立體圖形中的容納問題時能有一個理性的全方位的思考，能夠靈活地解決生活中的實際問題。那么，這樣的建模就真的非常有意義。

4．隱性的種子比顯性的珍珠更需要教師的“慧眼”。

在本案例中，學生的錯誤帶有共性，不是一個學生的錯誤，而是約95%的學生的錯誤。這樣的普遍性就一定有研究的必要。研究好了，就不是解決了幾個學生的問題，而是解決了一批學生的問題。

研究什么？有些教師著重以這道題為載體，進行了拓展，取得了良好的效果。我也曾經在雜志上看到，一位教師把包裝盒的這道題挖得很深、講得也非常透徹。

可反思一下，教師不僅僅要“治標”，更重要的是要分析問題產生的原因——尋找隱性的種子，從而“治本”。從整個知識點的脈絡上來看，因為平面圖形的教學沒有給學生直觀的感知，所以很多學生在這一塊的空間想象力缺失了。如果在教學類似的平面圖形中的問題時沒有操作，沒有體驗，學生又哪里來的感知與想象呢？

在本案例中，在平面圖形中的滲透和突破好比種子，種子不一定閃閃發光，不見得賞心悅目，可它是生命，有活力。一粒珍珠再漂亮也是一粒珍珠，它缺乏活力，難以生長。種子可能長成參天大樹，可能吐出萬紫千紅，更可能變成一串美麗的珍珠項鏈！

隱性的種子比顯性的珍珠更需要教師的“慧眼”，也對教師提出了更高的要求，需要教師對小學階段數學知識的體系有更深的了解，更加關注教科書、作業本、課堂，更善于思考，更善于發現！

有的教師重視種子，有的教師喜歡珍珠，但是我更喜歡種子！

（責編 藍 天）