關(guān)于“算法多樣化”幾個(gè)問(wèn)題的探討

提倡“算法多樣化”是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于計(jì)算教學(xué)的基本理念之一。它為沉寂的計(jì)算教學(xué)帶來(lái)了新的方法，注入了新的活力。隨著課程改革的不斷深入，人們?cè)谶\(yùn)用此理念的過(guò)程中產(chǎn)生了很多的問(wèn)題，對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行探討和剖析，會(huì)有助于我們更加科學(xué)、理性地理解算法多樣化的理念。

問(wèn)題1：新課程中，我們?yōu)槭裁磸?qiáng)調(diào)“算法多樣化”

課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為“由于學(xué)生生活背景和思考的角度不同，所使用的方法必然是多樣化的，教師應(yīng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡計(jì)算方法的多樣化。”以24×16為例，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的解法有以下幾種：

（1）24+24+…+24=384 （16個(gè)24相加）；

（2）16+16+…+16=384（24個(gè)16相加）；

（3）24+24+…+24=192（8個(gè)24相加）， 192×2=384；

（4）16+16+…+16=192（12個(gè)16相加）， 192×2=384；

（5）24×2×8=384；

（6）24×4×4=384；

（7）16×4×6=384；

（8）16×3×8=384；

（9）16÷2=8，24×8=192，192×2=384；

（10）24×10+24×6 =384；

（11）16×20+16×4=384；

（13）24×20-24×4=384；

（14）16×30-16×6=384；

（15）16×10+16×10+16×4=384。

由于學(xué)生有著不同的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，他們的思考角度，必然存在差異。對(duì)于這一道題，學(xué)生想出的15種方法，有些并不完美，但卻是學(xué)生思考的結(jié)果。從這些方法中，我們看到學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了各種各樣的解題思路，而且總結(jié)、歸納出了這些解題思路的共同特點(diǎn)：把一個(gè)“新”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為一個(gè)“老”的問(wèn)題來(lái)解決。即把一個(gè)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目轉(zhuǎn)化為加法或兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)來(lái)解決。這種化歸思想比兩位數(shù)的乘法運(yùn)算本身更為重要。善于使用化歸正是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)家們?cè)谇蠼鈫?wèn)題時(shí)，特別善于使用化歸的方法來(lái)解決問(wèn)題，即不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行直接“攻擊”，而是對(duì)此進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它化歸成了某個(gè)（或某些）已經(jīng)解決或較容易解決的問(wèn)題。

如果有學(xué)生用“24×13=24+2×24+4×24=312”來(lái)計(jì)算24×13，教師也不要感到奇怪。

圖1是早在古埃及紙草書(shū)（大約在三千年之前）上記載的一種乘法——倍乘法，所謂倍乘法就是逐次擴(kuò)大2 倍的方法。我們以現(xiàn)代的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)為例來(lái)說(shuō)明（見(jiàn)圖1）。例如“24×13=416”，大家發(fā)現(xiàn)上面算法的規(guī)律了嗎？ 原來(lái)，乘數(shù)13可以分解成1+4+8，并在左列1，4，8 的左側(cè)作上標(biāo)記，把右側(cè)的對(duì)應(yīng)的積相加，即可算得24×13 的結(jié)果了。到了1564 年，我們?nèi)匀豢梢詮牡聡?guó)數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾的著作中看到這種算法的痕跡。

問(wèn)題2：為什么不能忽視數(shù)學(xué)推理與證明在算法多樣化中的作用

在計(jì)算24×16的過(guò)程中，有這樣一個(gè)教學(xué)片段：

學(xué)生：“我是這樣算的，首先把16除以2等于8，24乘以8等于192，再用2乘以192，得到384。”

老師問(wèn)全班學(xué)生：“你們都聽(tīng)明白了嗎？”

“不明白。”學(xué)生幾乎是齊聲地回答。

“我也不明白。”老師臉上露出一副困惑的樣子，“為什么要16除以2，我們這里明明是做乘法運(yùn)算，怎么會(huì)出現(xiàn)除法。你能再說(shuō)得清楚一點(diǎn)嗎？”

這位學(xué)生猶豫了一下，說(shuō)：“我是這樣想的，16里面有兩個(gè)8，所以我先從16中拿出一個(gè)8，用它去乘以24，得到192，然后再用2乘以192，得到384。”

老師又問(wèn)全班學(xué)生：“你們聽(tīng)懂了嗎？”

大多數(shù)學(xué)生仍在搖頭。

老師說(shuō)：“我有點(diǎn)明白了，他是這樣來(lái)考慮的。”（在黑板上寫(xiě)下：16÷2 = 8，24×8 = 192，192×2 = 384。）

老師繼續(xù)說(shuō)：“大家看，他的想法是把兩位數(shù)乘以兩位數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘以一位數(shù)，因?yàn)閮晌粩?shù)乘以一位數(shù)我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了。那么，怎么轉(zhuǎn)化呢？他先將16除以2，得到8，然后用8去乘24，這是兩位數(shù)乘以一位數(shù)，我們都能算，得到的結(jié)果是192。但是，剛才我們除了一個(gè)2，所以現(xiàn)在還應(yīng)該把這個(gè)2補(bǔ)回去，因此用2乘以192，得到384。現(xiàn)在都明白了嗎？”仍有幾個(gè)學(xué)生在搖著頭……

從這個(gè)同學(xué)的回答中，我們看到他把算式中的一個(gè)因數(shù)寫(xiě)成兩個(gè)一位數(shù)的乘積，先算式中的另一個(gè)因數(shù)乘其中的一個(gè)，把得到的結(jié)果再乘另一個(gè)一位數(shù)。這里學(xué)生已經(jīng)用了乘法的結(jié)合率來(lái)計(jì)算此題，為什么老師解釋后，仍有幾個(gè)學(xué)生在搖著頭?此時(shí)老師應(yīng)該轉(zhuǎn)到有關(guān)聯(lián)系和性質(zhì)的推理上去，應(yīng)該向?qū)W生提出這樣的問(wèn)題：如果我再給20道這樣的問(wèn)題，這個(gè)方法都適合嗎？你怎樣知道呢？通過(guò)比較答案和互相質(zhì)疑，他們能夠開(kāi)始學(xué)習(xí)如何敘述存在于許多例子中的數(shù)學(xué)關(guān)系，學(xué)習(xí)去發(fā)展和論證為什么這些關(guān)系能概括出來(lái)以及什么情況下使用。在小學(xué)階段，學(xué)生應(yīng)該在他們的數(shù)學(xué)推理方面進(jìn)行重要的思維轉(zhuǎn)變，遇到一個(gè)結(jié)論好像成立時(shí)或不能說(shuō)出反例時(shí)，學(xué)生應(yīng)該能形成猜想并在自身經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)猜想做出評(píng)估。

問(wèn)題3：如何引導(dǎo)學(xué)生在交流與歸納的過(guò)程中，使算法更優(yōu)

交流是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中很關(guān)鍵的一部分，是分享觀念和澄清理解的一種方式。在數(shù)學(xué)交流中，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納和演繹，因?yàn)樽罨尽⒆钪饕臄?shù)學(xué)活動(dòng)是以邏輯為特征的演繹論證活動(dòng)和以經(jīng)驗(yàn)為特征的歸納發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，其他的數(shù)學(xué)活動(dòng)都是圍繞這兩種活動(dòng)而展開(kāi)的，或者是一種拓展，或者是一種延伸，或者是一種組合．《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）中也強(qiáng)調(diào)了觀察、試驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。

我們還是以24×16為例，教師引導(dǎo)學(xué)生在交流中尋找各種方法的特點(diǎn)，比較方法的優(yōu)劣，通過(guò)師生共同觀察、分析、比較、歸納得出：方法（1）～（4）主要用的是加法，比較基本，但計(jì)算比較麻煩，所用的時(shí)間長(zhǎng)，而且容易出錯(cuò)；（5）～（15）這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，可能不同的人會(huì)喜歡不同的方法。從（5）～（15）這些方法的思路來(lái)說(shuō)，（5）～（9）這五種方法的思路，都是把一個(gè)兩位數(shù)分成兩個(gè)一個(gè)數(shù)的積，這一思路具有特殊性，不是對(duì)于所有兩位數(shù)乘兩位數(shù)都適用，如19×23，這種舉反例的能力也是學(xué)生所要具備的。余下的幾種方法的思路具有一般性，（10）、（11）和（15）是一種思路，（13）和（14）是另一種思路，方法（12）是豎式計(jì)算。

問(wèn)題4：豎式有時(shí)顯得不夠簡(jiǎn)便，但為什么必須先掌握好

還以24×16為例，把15種方法中的（10）（11）（13）（14）的橫式計(jì)算與豎式計(jì)算的（12）做一個(gè)比較。我們發(fā)現(xiàn)豎式計(jì)算并不簡(jiǎn)單，相反有些橫式還比較簡(jiǎn)單，但我們?yōu)槭裁匆獜?qiáng)調(diào)豎式計(jì)算，并且必須要求學(xué)生先掌握好呢？

原因1：算法(algorithm) 一詞源于算術(shù)(algorism) . 粗略地說(shuō)，算術(shù)方法是一個(gè)由已知推求未知的運(yùn)算過(guò)程. 后來(lái)， 人們把它推廣到一般， 把進(jìn)行某一工作的方法和步驟稱為算法.廣義地說(shuō)，菜譜是做菜肴的算法，空調(diào)說(shuō)明書(shū)是空調(diào)使用的算法，歌譜是一首歌曲的算法.算法作為一個(gè)名詞， 在小學(xué)教材沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)，但是我們卻熟悉許多問(wèn)題的算法，比如我們知道解一元二次方程的算法， 求解一元一次方程、 一元二次方程、一元二次不等式的算法等等。算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ)。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用，并日益融入社會(huì)生活的許多方面，算法思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

原因2：數(shù)學(xué)在教育中的特殊作用在于數(shù)學(xué)的普遍應(yīng)用，數(shù)學(xué)的定理和理論，既重要，又有用，數(shù)學(xué)還提供了有特色的思考方式，包括建立模型、運(yùn)用符號(hào)等。豎式計(jì)算是普遍適用并且是強(qiáng)有力的思考方式。豎式把數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行抽象化，建立一個(gè)模型，把這種模型用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，豎式的運(yùn)算方法不但對(duì)于兩位數(shù)乘兩位數(shù)適用，對(duì)于三位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘三位數(shù)也適用，甚至可以把它推廣到代數(shù)式的運(yùn)算。

問(wèn)題5：為什么要強(qiáng)調(diào)表征在算法多樣化教學(xué)過(guò)程中的作用

表征是指可反復(fù)指代某一外部的或想象的事物的任何符號(hào)或符號(hào)集。在不同的數(shù)學(xué)表征之間建立聯(lián)系以及在自己的想法與表征這種想法的方法建立聯(lián)系的過(guò)程，有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。

例如，用兩種不同的方法表達(dá)計(jì)算“18+24”的同一種方法。

可以看到用橫式和豎式表達(dá)的是同一計(jì)算方法，更重要的讓學(xué)生明白不管是橫式還是豎式，它們都是同一方法的不同表征。

又如，在計(jì)算24×16時(shí)，方法（10）和（12）的比較。

我們要引導(dǎo)學(xué)生思考這樣一個(gè)問(wèn)題：兩種方法解的是同一道題，你能看到它們有任何相似的地方嗎？在方法（10）中24×10=240，而在方法（12）中不是240，而是24，我們是不是也可以在24后面添一個(gè)0，這能幫助你看到其他相似的地方嗎？學(xué)生開(kāi)始時(shí)不一定能看到這些關(guān)系，通過(guò)老師的引導(dǎo)，幫助學(xué)生把注意力集中到這兩種方法的共性上來(lái)，即幫助學(xué)生澄清計(jì)算過(guò)程中的數(shù)所代表的數(shù)值是多少，還有方法（12）中144與240之間存在一個(gè)未寫(xiě)的加號(hào)，以及為什么在豎式中要把240的0省略。我們應(yīng)該鼓勵(lì)多做這樣的解釋和課堂討論，這樣可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)表征，解釋和明確他們的計(jì)算策略。

數(shù)學(xué)教學(xué)的改革之路任重道遠(yuǎn)，需要我們數(shù)學(xué)教育者不斷反思，在反思中不斷前行，從而更加科學(xué)、理性地理解新課程的理念。

（責(zé)編 金 鈴）