再談一類盈虧問題的解法

《小學教學參考》（數學版）2006年第4期刊登了文昌才、李繼紅兩位老師所寫的《一類盈虧問題的解法》一文（以下簡稱文獻[1]），之后，同年的第12期刊登了何升根老師所寫的《也談“一類盈虧問題的解法”》一文（以下簡稱文獻[2]）。文獻[1]主要講述了用比較法來解決典型的和復雜的盈虧類問題，但其例3用了小數，不夠直觀。文獻[2]則主要講述了用矩形面積法來解決盈虧類問題，這也是一種很好的方法，但文獻[2]將盈虧數畫在每份數的右邊，顯得不夠簡潔。本文將盈虧數畫在每份數的上面，簡明直觀，一目了然，并強調比較或畫圖的基準。

例1：把一些蘋果平均分成幾堆，兩次分法的堆數相同。如果每堆分5個蘋果，則還余4個蘋果；如果每堆分7個蘋果，則還缺28個蘋果，這些蘋果有多少個？

解析：文獻[1]原題沒有明確“兩次分法的堆數相同”，故文獻[2]作者嚴謹地指出原題答案的非唯一性。現對文獻[2]中矩形面積法的畫圖方法改進，如圖1所示。

題目條件的圖形如下表示（以下各解法類同，不再贅述）：總數（蘋果數）=面積ABFE（實線），份數（堆數）=AB。第一次分配：每份數1=AC=5，盈數=面積CDFE（斜線陰影）=4；第二次分配：每份數2=BH=7，虧數=面積EFHG（反斜線陰影）=28。

顯然，盈數+虧數=面積CDHG（陰影）=4+28=32，每份數差=CG=7-5=2，份數=AB=CD=面積CDHG÷CG=32÷2=16，蘋果數=16×5+4=84，或蘋果數=16×7-28=84。

例1是典型的盈虧問題，為一盈一虧，另外還包括兩盈、兩虧、一盈一平和一虧一平共五種情況，均可用矩形面積法來類似地解決，這里不再舉例。

例2：把一些蘋果和梨平均分成幾堆，如果5個蘋果和3個梨分成一堆，梨分完后蘋果還剩4個；如果7個蘋果和3個梨分成一堆，蘋果分完后梨還剩下12個，問有多少個蘋果，多少個梨？

解析：例2是較為復雜的盈虧類問題，需要將兩次分配的比較基準——份數統一，進而轉化為典型的盈虧問題。

根據題意，例2兩次分配中每堆均是3個梨，故堆數（份數）以分配完梨為基準，這樣第一次分配完梨后盈4個蘋果，第二次分配完蘋果剩下12個梨，可以組成12÷3=4（堆），還虧4×7=28（個）蘋果與之配對。矩形面積法的解法如圖2所示。

與例1類似可得，份數=AB=(4+28)÷(7-5)=16，蘋果數=面積ABFE=16×5+4=84，或蘋果數=16×7-28=84，梨數=面積KLBA=16×3=48。

例3：把一些蘋果和梨平均分成幾堆，如果3個蘋果和6個梨分成一堆，梨分完后蘋果還剩5個；如果5個蘋果和4個梨分成一堆，蘋果分完后梨還剩下140個，問有多少個蘋果，多少個梨？

解析：例3也是較為復雜的盈虧類問題，文獻[1]將兩種分配方法的基準轉化為每堆1個梨，但與之配對的蘋果出現小數，不利學生理解。實際上，仍然可以梨為基準（當然也可以蘋果為基準），每堆梨的個數為兩次分配中梨的個數的公倍數，這樣與之配對的蘋果數就是整數。矩形面積法的解法如圖3所示。

第1次分配：蘋果︰梨=3︰6=1︰2=2︰4，蘋果盈數=5；第2次分配：蘋果︰梨=5︰4，類似于例2，蘋果虧數=（140÷4）×5=35×5=175。

與例2類似可得，份數=AB=（5+175）÷（5-2）=60，蘋果數=60×2+5=125，或蘋果數=60×5-175=125，梨數=60×4=240。

（責編 杜 華）