以怎樣的可能去發生“數學教育”?

小學階段的數學學習，作為人生初始的一段經歷，應當充滿收獲知識的成功體驗、合作探索的經驗累積以及主體精神的個性張揚。我們該以怎樣的可能去發生“數學教育”呢？下面，結合“乘法分配律”的教學談一些想法，不足之處，敬請指正。

扒開“知識”這層土

數學知識往往具有兩重性，既表現為一種過程的操作，又表現為一種結構。因此，數學學習往往由過程開始，然后轉化為對象的認知過程?！俺朔ǚ峙渎伞笔枪J的教學難點之一，困擾著廣大教師和學生，少數學生甚至于畢業前夕仍不能準確地加以理解和運用。究其原因，筆者認為數學課堂中普遍存在初次教授時過程刻畫不足、對象轉化不夠的缺陷，并且日后教學中對該知識運用也缺少發展性的補充理解和訓練。

1.把學生經驗與學習材料進行比較，建立聯系。

課堂教學要符合學生的心理規律，將學生的已有經驗和學習材料進行比較研究，找到二者之間的關聯點，為教學的有效設計與實施把好“脈”、導好“航”。（見下表）

通過比較，我們可以發現，學生對乘法分配律的結構把握，起源于生活問題中隱含的事理認識和豐富抽取。同時，學生對它的反向理解和識別將會是一種新的學習挑戰。

2.把學習對象還原為教學直觀或現實問題。

由于數學知識的抽象特點和學生的思維特征之間存有明顯差異，所以我們要把抽象的數學還原為學生可感受的教學直觀或可參與的現實活動，實現自主建構。

如蘇教版國標本教材四年級下冊第56頁以主題圖的形式呈現買賣信息及問題“短袖衫32元，褲子45元，夾克衫65元，買5件夾克衫和5條褲子，一共要付多少元”，然后在兩種方法的解決基礎上抽取出等式“（65+45）×5=65×5+45×5”。而事實上，問題首先就出于此處，即“還原”不夠。從兒童的生活世界來看，乘法分配律之所以比乘法交換（結合）律的“病發率”高，不只在于他們有學習加法交換（結合）律的類似經驗，主要還在于乘法分配律的生活原型相對較少的緣故，并且學生對乘法分配律的結構把握需要投入的學習注意力也明顯高于乘法交換（結合）律。這樣，就需要在上述生活問題（知識原型）的前面再補充兩個問題，讓學生自主建構的生活基礎更加厚實，即“某地是長12米、寬4米的長方形，求它的周長”和“桌子每張56元，椅子每把24元，買10套桌椅需多少元”。

3.以兒童的立場對知識的組織方式進行合理選擇。

小學生還不具備成人“很簡單就得到”的復雜思維，對世界的認識和探索仍以不完全歸納與舉例論證的方式為主。因此，教師對知識的組織宜采用放手讓學生探索，關鍵的地方“扶”一把的方式。如抽取出三個等式“（65+45）×5=65×5+45×5、 （12+4）×2=12×2+4×2、（56+24）×10=56×10+24×10”并觀察其特點后，教師可提問：“這是規律，還是巧合呢？”然后組織學生每人舉例加以驗證和交流，找尋共同特征得出乘法分配律并加以表達，接著進行反向理解。但是，不少教師初授乘法分配律時，易忽略對它結構的反向探究、理解和識別，只是讓學生對先前的一組等式從右往左觀察便宣告結束。這樣教學，學生得到的認識雖然是完整的，但程度上遠遠不夠深刻。那么，怎樣“教”得到位，“扶”學生一把呢？其實，先前的等式和例子可以用兩塊小黑板呈現，“=”寫在小黑板之間的大黑板上，然后只需左右調換小黑板即可，既簡單、方便又實用。這樣，學生對“分”和“配”的體驗都建立在直觀順向的觀察基礎之上，得到的認識必然深刻和完整。

4.引領學生多角度理解知識，分層次地推進教學。

這主要體現在得出乘法分配律后，組織學生口算14×2、筆算15×23和計算長方形的周長，回顧舊知，體會乘法分配律在原有知識中的運用。同時，在練習環節借助填空、判斷、連線、計算說理（如右圖）等題目的練習，強化學生對乘法分配律的解釋能力和應用意識。

數學知識的教育，就是要讓學生充分地感受到知識的來龍去脈，實實在在地體會到已有經驗與學習材料之間的關聯以及富有挑戰的新認識。

掬起“智慧”這捧水

知識在本質上是一種經驗或思考的結果，而智慧表現在經驗和思考的過程中，具體表現于對問題的處理和對實質的思考以及技巧的整體把握等諸多方面，它并不完全依賴知識的多少，而依賴知識的運用和經驗。

1.運用知識。

首次探討乘法分配律對減法的運用（第58頁第3題“先計算每組的兩道算式，再比較它們的結果，并填空”）時，教師不要直接告知學生“這是乘法分配律對減法的運用，減號相當于加號”，如此不夠準確的“聰明”做法只會產生更多的“笨”學生，因為從一開始就把學習定格在了結論的記憶上，而不是對知識“（a+b）×c=a×c+b×c”的運用。此處運用的是已有的探究經驗和熟悉的問題結構，表現為學生對共性的實質把握和技巧的獨立運用，極有利于學生主體探究精神的培養。

2.積累經驗。

積累必要的經驗是提高問題處理能力之所需。通過對問題多層次的變式構造，使學生對問題解決及問題本身的結構有一個清晰的認識。這是學生積累活動經驗，提高問題解決能力的一條有效途徑。常用的方法如下：（1）一個問題多種變化，其中既包括解題過程中的各種鋪墊（如拆分、變形等），也包括對原問題的各種引申（如改變問題等）；（2）一個問題多種解決方法，即將同一個問題的不同解決過程作為變式，去聯結各種不同的解決方法；（3）同一方法解決多種問題，即將某種特定的方法用于解決一類相似的問題。

3.生成新知。

生成恰當的新知有助于加深對問題本身的理解，并能夠抓住問題的本質，啟發新的思考。學生在完成基本練習后，已具備能力和條件參與初步拓展，解決實際問題（如“每本筆記本5元，甲買2本，乙買3本，丙買4本，三人共花多少元”），將乘法分配律拓展到三個數的和與一個數相乘。筆者調查發現，參與拓展生成上述新知的班級的學生，面對25×（40+4+2）基本能正確地拆開進行簡便計算，而沒有如此學習經歷的同年級學生只敢轉化為25×46或25×（40+6）來計算。

4.催生思想。

學習數學不僅要學到許多重要的數學概念、方法和結論，更要領會數學的精神實質和思想方法。由乘法分配律拓展到三個數的和與一個數相乘的知識基礎，催生“更多個數的和與一個數相乘”這一思想也就成為可能。實踐證明，上課結束后就有部分學生談到這樣的想法，并且認為無非就是把實際問題的人數繼續增多。這真是驗證了一句話：“思想有多遠，路就有多遠?！?/p>

我們不止于收獲知識這樣的結果，更要在豐富的經歷和過程中收獲智慧。智慧被“掬起”的同時，也是知識被“扒開”的延續，從而使學生創造意識的保持和能力的生成成為可能，數學思維也真正得到落實。

迎來“生命”這股流

基于數學的學科因子，可否以涓涓細流來潤澤生命？又何以潤澤？這特別需要我們立足教和學的層面，實現雙主體的投入，成功喚醒每一位學生的自我成長意識和主體發展意識。

1.充滿期待——“我學習我主張”。

數學課堂上，可以嘗試著讓學生自己定標準和給結論。比如，在小組交流規律發現后，讓學生思考“有沒有更簡單的式子表達這種規律”，學生生發出如（a+b）×c=a×c+a×c、（紅+藍）×黃=紅×黃+藍×黃、（△+○）×□=△×□+○×□等多種表示方法，盡管其中有的不一定正確，但它們至少表示出了乘法分配律的結構外形。長此以往，學生就能充滿自信，相信自己會變強。

2.不言放棄——“我學習我收獲”。

對乘法分配律的教學不能局限于初學后就是練習加訂正，要有長期理解其內涵進行后續學習的意識，增強體驗，豐富認識。如可讓學生對照右圖涂色面積的計算理解乘法分配律，實現操作運算和符號運算之間的表象過渡，原先以“先記憶再理解”或“先理解再記憶”接納乘法分配律的學生，此時會有常學常新的收獲。學生的收獲也將不止于知識背后的意義支撐，會越來越熱愛學習，不斷增強自我學習的能力。

3.敞開心扉——“我學習我歡愉”。

我們在抱怨學生越來越不主動地去學習的同時，也應該注意到，很多學生學習時在情感上沒有了愉悅感，他們只是在應付了事。如果學了再多的知識，但是失去了求知的快樂和熱情，我們的教學就本末倒置了。通過“乘法分配律”的學習和探索，我們可以明顯地看到，學生感到學習數學其實并不難，對一些數學知識的運用學生很感興趣，且在解決現實生活中的問題時，他們的熱情比較高漲。

4.點化生命——“我學習我成長”。

筆者自小學畢業已有多年，當年所學的數學知識早已形成了一種無形的能力，而跟學數學有關的一些經歷和事件卻成了生命的烙印。看來，圍繞學數學的活動范圍是很廣泛的，其具體過程仍然首先是人與人之間的交流。涉及數學學習的教育事件使學生能試著發現他自己，發現自己喜歡什么，需要什么；善于做什么，不善于做什么。也就是說，數學學習除了具有獲得知識和技能的社會價值，更賦有對促進人的自我實現的生命價值。

“扒開知識”“掬起智慧”“迎來生命”，這三件事情是相互貫通的，既逐層遞進，又相互制約。“知識”處在教育的邊緣和表層，它的內在根據可尋索到“智慧”，而“智慧”的運作又必定能追溯到生命的本真。

（責編 杜 華）