動靜相隨 數形相映 思畫相濟

在高段數學解題教學中，一線教師常常會遭遇這樣的困惑：有些題目學生已經做過好幾遍，且講過很多次的習題，部分學生還是“照錯不誤”。這種“過目即忘”“一錯再錯”的現象令人焦慮。那么，如何才能讓學生具有敏銳的數感、符號感和對等量關系的感悟呢？為改變現狀，我在解題教學實踐中，嘗試著用“動靜相隨，數形相映，思畫相濟”的策略，取得了比較好的效果，有利于學生掌握方法、學會學習。

一、動靜相隨，從抽象轉具體，克服思維定勢

在解題教學中，通過動腦、動手、動口、操作、演示等教學活動，能使抽象的問題具體化，有助于學生克服思維定勢。

案例（一）：

在解“植樹問題”應用題時，我發現有半數以上的學生對“間隔”和“棵數”間的+1、－1弄不清楚，于是在解題前先讓5個學生每隔1米在教室里站成一列隊伍，讓5個學生都當成“樹”，再提出“只栽一端”“兩端都栽”“兩端都不栽”這三種情況。然后我出示題目：“3月12日植樹節，學校大門到幸福公路接口處120米要求種樹，請你設計方案并計算出要準備幾棵樹苗？”題目一出有很多學生異口同聲問：“老師，怎么沒有要求間隔？”

師：間隔幾米請你們自己先思考，你覺得怎么合適就定，然后算出種多少棵樹苗。

生1：我想每兩棵樹間隔10米，兩端都種。

生2：我打算兩棵樹間隔8米，一端不種。

生3：我計劃每兩棵樹之間相隔5米，兩端都不種。

生4：我設計每兩棵樹間隔6米，兩旁兩端都種。

生5：我想每棵樹間相隔4米，只種一旁，兩端都不種。

……

師：如果有幾個間隔，兩端兩旁都種，要種多少棵呢？

生6：如果有幾個間隔且兩端兩旁都種，要種（n+1）×2棵。

生7：因為兩端都種是n+1，且要求兩旁都種，所以要（n+1）×2。

師：大家對今天的“植樹問題”解答有什么感受？

生8：以前我認為“植樹問題”挺難弄懂的，今天我自己命題、自己解答，感覺題目很簡單，有規律可以找，還可以用n+1、n－1去推斷。

師：大家都聽清楚了嗎？其實，只要我們在解題時多動腦，靜心思考，把握題意，問題就會迎刃而解。

……

把靜態的文字轉化為動態的教學活動，然后活動之中讓學生靜思考，學生自己動腦、自行命題的過程，實質是一個不斷發現、不斷感悟的學習過程。在“動”中，學生明白了是“＋1”還是“－1”，為什么是（n+1）×2等。然而，這樣的“動”只是一種形式，我們要求的是在“動”中“靜”思考。只有“動”與“靜”相結合，學生才能把“抽象的問題轉為具體的、簡單的問題，復雜的問題可以此類推”。

案例（二）：

有兩個同樣大小的硬幣，一個硬幣⊙O不動，讓另一個硬幣⊙B在⊙O的外沿滾動（是無滑動地滾動），即向P點繞點B轉動，當⊙B回到初始位置時，P點繞點B轉了幾圈？

在解答這題以前，很多學生對答案沒有把握，在爭論中，我一面動手做實驗，一面在屏幕上顯示了以下五幅圖。

我用展板剪兩個半徑相同的圓，模擬上述的滾動過程（圖1），⊙O與⊙B從P點開始滾動，圓心B同時繞圓心O轉動，點P繞點B轉動情況如下：當圓心B繞圓心O逆時針轉390°后，到圖（2）的位置時，點P繞點B轉動了半周，即⊙B自轉了半圓；當圓心B繞圓心O轉180°到圖（3）的位置時，點P繞點B轉動了一周；當點B繞點O轉了270°時，點P轉到圖（4）的位置時，點P實際繞點B轉動了1.5周；當⊙B到初始位置時，點P繞圓心B轉了二周（圖5），即⊙B自轉了2周。

在解題過程中若碰到疑難問題或用抽象的思維解決不了問題時，用動態演示和靜態思考的方法可以使我們找到正確的答案，能在“山窮水盡”中“柳暗花明”。

二、數形相映，由圖意映題旨，拓展思考路徑

數學作為所有科學的思維基石，數形相映在解決數學問題中具有獨特的作用。“數”有利于對問題進行量化分析與抽象表達，而“形”的直觀形象性更趨于大眾思維，“形”與“數”有機結合，能更清晰地表達復雜的數學思維，在解題中有“柳暗花明又一村”之感。

案例（一）：

“條件確定，答案唯一”是傳統作業設計的一個共同特點，這樣的作業不利于學生個性的發展，不利于學生創新精神的培養。在平時教學中，我們可設計一些答案不唯一或條件不完備的開放性習題，留給學生充分答題的時空，從而讓每一個學生都能積極主動地參與到學習中來，并讓不同層次的學生都能得到不同的發展，彰顯學生的獨特個性。

如這道題：“一個長方體長9分米，寬4分米，高2分米。現把它截成三個形狀、大小相同長方體（如右圖），這三個長方體表面積的總和比原來長方體的表面積增加了多少平方分米？”

由截面可以有三種不同的截法，即垂直于長，截面＝4×2×4=32（平方分米）；垂直于寬，截面＝9×2×4=72（平方分米）；垂直于高，截面＝9×4×4=144（平方分米）。

正是這一富含復雜性、多樣性的實際問題給學生提供了開放性思考的空間，讓學生運用所學知識在解決實際問題的過程中彰顯個性，對“截一刀，增兩面”有本質的、深刻的理解。

案例（二）：

為改變課本中百分數應用題與學生生活相脫節的內容，在百分數教學中，我請全班學生先朗誦兒歌：“蝴蝶風箏真漂亮，六米高空隨風揚。五分之三繩在手，風箏繩子有多長？”然后改編成：“蝴蝶風箏真漂亮，六米高空隨風揚。五分之三繩離手，風箏繩子有多長？”

兒歌中的數據與線段圖（如右）相映，題目的意思顯然易見，且學生全體朗讀一遍，第二遍基本上都能背誦。學生的思維如果“真實地去思考問題”，學生都會欣喜地回答繩子有15米長和10米長。并且，對以上兩題中下水平的學生也會說：“這樣的題真好，我一輩子也不會忘記。”

案例（三）：

有部分學生對以直角邊3厘米、4厘米旋轉360°后的圓錐體體積有兩個答案有疑問，我就把究竟是依哪條直角邊旋轉用圖和數字來說明問題。

把三角形ABC沿著邊AB或BC分別旋轉一周，得到兩個圓錐（如下圖1、圖2，單位：厘米）。請計算出這兩個圓錐的體積。

大部分學生沒有想到由BC邊（3厘米長的短直角邊）旋轉（圖2）的狀態，在演示旋轉時，學生見到直角三角形的兩條直角邊均可旋轉，頓時豁然開朗，數學與圖形相映后，解題一目了然。

三、思畫相濟，變復雜為簡單，掌握思想方法

在解題教學中，碰到學生感覺較難、較繁瑣、沒有把握解決的題目時，用“思”“畫”相濟的方法是最受學生歡迎的。

案例（一）：

光明小學原來有一個長方形操場，長50米，寬40米。擴建校園時，操場的長和寬各增加了8米。操場的面積增加了多少平方米？

出示題目后，教師讓學生逐步進行分析：（1）長增加8米，面積增加多少平方米？生：“面積增加320平方米。”（2）寬增加8米，面積增加多少平方米？生：“面積增加400平方米。”（3）長和寬各增加8米，變成新的長方形，你能很快說出面積增加多少平方米嗎？生：“面積增加720平方米，列式是320+400=720（平方米）。”教師追問：“這樣的思考與列式對不對呢？”學生經過猜想和在紙上畫圖驗證，補充道：“不對！還有那個外面的‘角’沒有算進去。”

師：那個“角”是什么圖形？面積是多少？

生：是正方形，面積是8×8等于64平方米。

師：那么，增加的面積應該是多少？

生：應該是720+64=784（平方米）。

師：仔細觀察我們畫出的圖（如右），你還有不同的解決問題的方法嗎？

生1：（50+8）×（40+8）－50×40。

生2：（50+8）×8+40×8。

生3：（40+8）×8+50×8。

出示變式練習：

（1）長和寬各減少8米，操場的面積減少多少平方米？

（2）長增加8米，寬減少8米，面積改變了嗎？為什么？

（3）長減少8米，寬增加8米呢？為什么？

……

在解決問題的教學中，部分教師和學生往往將主要精力放在探索問題的結果上，忽視對解決問題的結果用思畫相濟的方法進行驗證。在教學過程中，教師除了自己能恰當地評價學生的想法，注意激勵學生的數學思考外，還應組織學生之間開展積極有效的評價，讓學生能通過評價他人解決問題的過程，形成自己對問題的明確見解。

案例（二）：

數學思想與方法的挖掘、理解和運用都需要有一個過程。我把解題教學中學生最難理解和最容易出錯的題用思畫相濟的方法，使學生真正有所領悟。

如在一次興趣活動課上，一位學生生在上課前給我一道有點超要求的題目（如下），我剛把這位學生的題目出示，另一位學生就直截了當地說出答案是“5厘米”。當我反問這位學生時，他自信而得意地說：“老師，我是一邊思考，一邊畫圖，答案立即出來了。”

如右圖，AB∥CD，且把正方形的面積平均分為三個部分。已知正方形的面積是18.75平方厘米，求AB=CD=？

該學生這樣說：“我認為把18.75平均分成三份，每份是6.25，也就是S△CDO=6.25平方厘米，那么以CD為邊的正方形面積是25平方厘米，則CD=5厘米。”如若用其他方法去計算，其“繁”、其“難”不言而喻，而按該學生一思一畫的方法一目了然，有豁然開朗之感。

由以上的嘗試到具體實踐探究，在課堂教學或解題練習中，如若我們能依照題意去“思”、去“畫”，那么解題的思路會更寬、更廣，效率會更高、更好。正如教育家蘇霍姆林斯基所說的：“應用題是畫出來的。”讓我們循著“動靜相隨，教形相映，思畫相濟”的策略，對解題教學進一步去探究吧！

（責編 杜 華）