“隨便怎么乘,都可以!”

前不久，我在執(zhí)教蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第五冊(cè)“乘法”中的“連乘實(shí)際問(wèn)題”時(shí)，恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)活躍了學(xué)生的思維，激發(fā)了學(xué)生探究新知的欲望。同時(shí)，學(xué)生的獨(dú)特發(fā)現(xiàn)也開(kāi)闊了我的教學(xué)視野，引發(fā)了我的一些教學(xué)思考。

一、引導(dǎo)

教材第80頁(yè)的例題如下：

依據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，我設(shè)計(jì)了如下教學(xué)環(huán)節(jié)：先用圖出示5個(gè)零散的乒乓球和“乒乓球每個(gè)2元”的價(jià)格，然后讓學(xué)生讀圖、獲取信息并提出問(wèn)題：5個(gè)乒乓球多少元？接著我把這5個(gè)乒乓球用一個(gè)袋子裝起來(lái)，整理成，問(wèn)學(xué)生：“這時(shí)你會(huì)想到什么？”生：“我知道了剛才的問(wèn)題‘5個(gè)乒乓球多少元’還可以說(shuō)成‘一袋乒乓球多少元’。”這一追問(wèn)為學(xué)生準(zhǔn)確理解題意，順利解答所求問(wèn)題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。最后我出示這樣的6袋乒乓球，讓學(xué)生嘗試解決例題中的問(wèn)題。通過(guò)分析和交流，學(xué)生出現(xiàn)了如下兩種解法：（1）5×2=10（元），10×6=60（元）；（2）6×5=30（個(gè)），30×2=60（元）。

一切按部就班，我暗地自鳴得意。

二、發(fā)現(xiàn)

正當(dāng)我準(zhǔn)備結(jié)束新授，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié)時(shí)，一個(gè)學(xué)生突然舉手發(fā)言：“老師，我還有一種解法呢！ 2×6=12（元），12×5=60（元）。” “他的解法可以嗎？”我引導(dǎo)學(xué)生們進(jìn)行討論。

生1：我覺(jué)得他的得數(shù)是對(duì)的。

生2：他的第一步算式2×6=12（元）好像不知道求的是什么。

生3：我認(rèn)為他的解法是可以的。因?yàn)榈谝徊接盟闶?×6=12（元）求的是上面一排乒乓球多少元，然后再求5排乒乓球一共多少元。（為了讓大家聽(tīng)得更清楚、明白，生3還特意在教學(xué)掛圖上增畫(huà)了一條直線，幫助同學(xué)理解，如下圖）

通過(guò)直觀圖的提示，多數(shù)學(xué)生豁然開(kāi)朗了。例題挖掘至此，順風(fēng)順?biāo)Ｎ艺郎?zhǔn)備按常規(guī)收尾時(shí)，冷不防又有一學(xué)生突然冒出一句：“隨便怎么乘，都可以！”“真是這樣嗎？”我很意外，也很震驚。說(shuō)實(shí)話(huà)，學(xué)生們的這些想法，我在備課時(shí)還真沒(méi)有認(rèn)真思考過(guò)。雖然這三種解法備課時(shí)我已預(yù)設(shè)，但這類(lèi)問(wèn)題是不是都具有同樣的規(guī)律呢？教材中的例題確實(shí)是隨便怎么乘都可以，那是不是所有類(lèi)似的實(shí)際問(wèn)題都可以隨便乘呢？根據(jù)乘法交換律和結(jié)合律的知識(shí)，每種不同算式的結(jié)果肯定是一樣的，但道理上說(shuō)得通嗎？為了弄明白這個(gè)問(wèn)題，我決定發(fā)動(dòng)學(xué)生一起參與探究，要求大家在練習(xí)中留意觀察：是不是所有類(lèi)似的題目都可以隨便怎么乘？有沒(méi)有不可以隨便乘的？

三、驗(yàn)證

我讓學(xué)生帶著問(wèn)題做練習(xí)，鼓勵(lì)他們想辦法驗(yàn)證自己發(fā)現(xiàn)的“規(guī)律”（還未經(jīng)驗(yàn)證），極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生探究的興趣。學(xué)生通過(guò)一系列的練習(xí)，發(fā)現(xiàn)圖文結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題都可以隨便乘，但一些文字題目好像不可以隨便乘。如：“一個(gè)盒子放6個(gè)茶杯，媽媽買(mǎi)了3盒，每個(gè)茶杯4元。媽媽一共要付多少元？”學(xué)生認(rèn)為可以先用4×6，求的是一盒茶杯多少元；也可以先用6×3，求的是一共有多少個(gè)茶杯，但不能先用4×3，因?yàn)槊總€(gè)茶杯的錢(qián)數(shù)不能乘盒數(shù)。這道題與上面的例題很相似，既然例題可以用三種不同的方法解答，為什么這道題就不可以呢？我尋思學(xué)生產(chǎn)生這一錯(cuò)覺(jué)的原因。

原來(lái)學(xué)生在分析題意時(shí)，把題目中的“3”僅看作了3盒，這樣用每個(gè)茶杯的錢(qián)數(shù)乘盒數(shù)就覺(jué)得難以解釋最后的結(jié)果。于是，我出示了如下直觀圖，把原來(lái)的文字信息轉(zhuǎn)化成圖示信息，幫助學(xué)生分析和理解：如果我們把3盒茶杯疊在一起看，原來(lái)的3盒就變成了3層，從圖中不難發(fā)現(xiàn)一共有6個(gè)豎行的杯子。這時(shí)我啟發(fā)學(xué)生思考：“4×3求的是什么？可以解釋出它的含義嗎？”有了圖的幫助，學(xué)生立刻恍然大悟：4×3求的是1個(gè)豎行杯子的錢(qián)數(shù)，這里的“3”還可以看成3層或者是3個(gè)。最后，用1個(gè)豎行的錢(qián)數(shù)乘6就得到6個(gè)豎行茶杯的錢(qián)數(shù)，也就是一共需付的錢(qián)數(shù)。

學(xué)生通過(guò)實(shí)例列舉，最終得出結(jié)論：連乘的實(shí)際問(wèn)題隨便怎么乘都可以。有沒(méi)有更加科學(xué)的方法來(lái)幫助學(xué)生論證這一發(fā)現(xiàn)呢？從上面圖文信息的轉(zhuǎn)化，我得到了如下啟示：如果把例題中的三個(gè)已知信息分別看作一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的話(huà)，那么所求問(wèn)題不就是這個(gè)長(zhǎng)方體的體積嗎？任何相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量相乘，乘積都可以用長(zhǎng)方形的面積表示，這樣三個(gè)量相乘的積，我們也可以用“形”表示出來(lái)。比如，我們可以把例題中的信息看作長(zhǎng)是6，寬是2，高是5（如下圖）。

第一種解法：5×2=10（元），10×6=60（元）；先求側(cè)面的面積，再用側(cè)面的面積乘長(zhǎng)。

第二種解法：6×5=30（個(gè)），30×2=60（元）；先求前面的面積，再用前面的面積乘寬。

第三種解法：2×6=12（元），12×5=60（元）；先求底面積，再用底面積乘高。

無(wú)疑，通過(guò)這一轉(zhuǎn)化，我們發(fā)現(xiàn)只要是連乘的實(shí)際問(wèn)題，都可以用其中任意兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量先乘，得到長(zhǎng)方體一個(gè)面的面積，然后乘相應(yīng)的高就得到了體積。顯然，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)是對(duì)的！

四、思考

上述教學(xué)內(nèi)容雖然我教過(guò)多次，但從來(lái)沒(méi)有研究過(guò)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，甚至在批改學(xué)生的作業(yè)時(shí)，還花很長(zhǎng)的時(shí)間和相當(dāng)多的精力去琢磨學(xué)生的解題思路是否正確。在課堂教學(xué)中我也只是就教材教教材，停留在教學(xué)的表面，缺乏深層次主動(dòng)思考的意識(shí)。學(xué)生的慧眼發(fā)現(xiàn)，彌補(bǔ)了我這一空白，也啟迪我今后的教學(xué)既要不斷增加廣度，更要增加厚度。

回顧這節(jié)課，學(xué)生之所以有這樣精彩的發(fā)現(xiàn)，我覺(jué)得首先是得益于課堂上的有效引導(dǎo)，積極啟發(fā)學(xué)生從多種角度思考同一問(wèn)題，活躍了學(xué)生的思維。其次，當(dāng)我在課堂上聽(tīng)到學(xué)生不同聲音的時(shí)候，并沒(méi)有輕易否定或放棄，而是細(xì)心琢磨，幫助學(xué)生尋找科學(xué)的依據(jù)，保護(hù)了學(xué)生創(chuàng)造的積極性。盡管以學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和思維能力，我們無(wú)法幫助他們論證這一“發(fā)現(xiàn)”的科學(xué)性和嚴(yán)密性，但作為教師對(duì)學(xué)生的正確“發(fā)現(xiàn)”要積極給予肯定，鼓勵(lì)學(xué)生勇于探究和創(chuàng)新，促進(jìn)他們積極思考，真正讓學(xué)生體驗(yàn)到探究和創(chuàng)新的快樂(lè)。同時(shí)，在學(xué)生今后學(xué)習(xí) “長(zhǎng)方體和正方體的體積”時(shí)，我們不妨相機(jī)出示一些上述學(xué)過(guò)的連乘的實(shí)際問(wèn)題，既讓學(xué)生過(guò)去的“獨(dú)創(chuàng)”得到進(jìn)一步的論證，也讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，并把后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)與舊知相機(jī)結(jié)合，豐富了學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣度。

學(xué)生經(jīng)歷上述的探究過(guò)程，特別是他們的“發(fā)現(xiàn)”得到了科學(xué)的論證以后，一定倍感喜悅，這份體驗(yàn)對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是彌足珍貴的。

（責(zé)編 杜 華）