談極端原理在高中數學解題中的應用

隨著教育改革的深入發展，人們把學習數學知識、滲透數學思想方法的教育，作為數學教育的出發點和落腳點。目前不少數學教育家將學生對數學思想方法的理解，掌握與應用的水平，作為評價學生數學成績的重要標志之一。因此，極端原理作為一種思想方法有著舉足輕重的作用。極端原理是解決具體問題而采用的方式、途徑或手段。它并不是數學學科所獨有的，而是從各門學科中研究提煉出來的方法，是許多學科都普遍適用的方法。自古以來，人們都十分重視對思想方法的理論研究，試圖應用正確的思想方法來認識和改造世界。

做人不宜“走極端”，但解數學問題時“走極端”卻未必是壞事。這里的“走極端”是指從極端情形出發，考慮具有極端性質的數學對象，如數量的極大與極小，圖形的極限位置、邊緣位置，問題的最特殊之處(最有利、最不利等等)，從而發現解決問題的一般性規律。

一、利用圖形的極端位置、邊緣位置解題

所給問題是幾何圖形，它們都有著明顯的幾何意義，可以根據已知條件，通過圖形的極端位置啟發思維，找到簡捷的思路。

例1： 已知長方形的4個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向運動到BC上的點P1后依次反射到CD、DA和AB上的點是P2、P3和P4(入射角等于反射角)。設P4的坐標為(x4，0），若1＜x4＜2，則tanθ的取值范圍是( )

解析：該題考慮邊緣位置， P1為BC的中點時，易知P2、P3和P4也應是各邊的中點，此時tanθ=，由于P4的橫坐標1＜x4＜2在AB邊中點的右半部分，該值應是界值，故選C。

二、利用極端情況增加題設條件，降低題目的難度

有些數學題目，表面看來條件不足，給解題帶來障礙。如果解題中注意應用極端原理，從挖掘隱含條件出發，將使思維出現轉機，達到順利、簡捷、完美解題的目的。

例2： (2006年北京高考題)在三角形ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，則∠B的大小是____。

解析：極端化與一般化， 先將三角形極端化，再用極端找出一般。

根據sinA：sinB：sinC=5：7：8，運用正弦定理，得到a：b：c=5：7：8。不妨極端化， 設a=5，b=7，c=8，這種特殊情況也能滿足題目要求。再根據余弦定理可以得到cosB==，所以∠B=。

事實上，我們也可設a=5k，b=7k，c=8k，也可求得cos=。

三、利用極端原理，探求恒成立問題

某些有某種任意性的元素確定某個定值，往往需要運用這種任意性的元素中的極端性質確定這個定值。若題目暗示答案是一個定值時，我們可以取一個(些)極端數值、或一個極端位置、或一個極端圖形來確定這個定值，以節省推理論證的過程。對于解答題，極端常常只是提供論證的方向，而對填空題卻就是答案了，當題目的條件是從一般性的角度給出時，極端法尤其有效。

例3：已知A+B=，則的值是？

解析：題目本身暗示，只要A+B=，而無論A，B取什么值(當然表達式必須有意義)，所得結果應是唯一的 ，故取A=，B=0，可得原式 。

若用直接法，可先將三角函數式化簡，再代入求值。

分子=sin（A+B）sin（A-B），

分母=sin2A-sin2B=（sin2A-sin2B）=cos（A+B）sin（A-B），

所求式 。

可以看出，只要極端值取得恰當，就可使問題獲得簡捷解決。

四、利用極端猜想，有效地探求解題途徑

用滿足命題條件的某些極端（特殊）情形進行試探，常能有效地探得解題途徑。

例4： 已知拋物線f(x)=ax2+bx+c經過點A(-1，0)，問：是否存在常數a、b、c，使得不等式x≤f(x)≤(1+x2)對一切實數x都成立?并證明你的結論。

解析：在同一個坐標系中分別作出y=(1+x2)和y=x的圖象。如圖2(注意：(1+x2)≥x當且僅當x=1時等號成立)。觀察圖象，借助直觀，我們可以

得到如下啟示：

1.在圖中陰影部分作一條過點A的拋物線看來是可以的；

2.這條拋物線必定過點(1，1)；

3.該拋物線與直線y=x相切。

所以有f（-1）=0，f(1)=1，f(x)=x中△=0。由此解得a=，b=，c=。這時我們得到了不等式x≤f(x)≤(1+x2)成立的一個必要條件，接著可以證明這個條件也是充分的。

本題利用極端發掘問題存在的必要條件，進而由條件的可逆性，尋求到了合適的解題途徑，體現了應用極端原理的解題技巧。

因此，在解題教學時，老師若能啟發學生進行合理的極端思考，就不僅能得到簡捷有效的解題方法，還能加強學生對知識的理解，培養思維的靈活性，提高學生分析問題解決問題的能力。

（作者單位：江蘇省通州高級中學）