淺談解排列組合問題的基本分析方法

排列組合應用題內容抽象，題型較多，有些問題中條件較隱晦，答數往往又較大，不易用直觀的方法來驗算。排列組合應用題大多解法獨特，靈活多樣，有一定的難度。但若認真分析研究，深刻理解基本分析法的本質，對學習排列組合難的問題可以逐步解決。這里根據問題的不同特點，結合具體例子介紹七種基本分析方法，幫助學生更好地理解和掌握這部分內容，提高解題能力，激發解題興趣。

一、基本原理分析法

加法和乘法兩個基本原理是解排列組合問題的主要依據，也是一種最常用最基本的方法。

例1．用0、1、2、3、4這五個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位數?

分析：先考慮百位，因百位上的數字不能是0，就只能從1到4這4個數字中任選一個，有Ｐ■■種，十位和個位上的數字可從余下4個數字中任選兩個有Ｐ■■種，根據乘法原理，所求三位數有Ｐ■■·Ｐ■■=48(個)。

二、分解與綜合分析法

對某些有附加條件的問題，若看成一種情況無法解答，則應按某種標準分成幾種情況進行分析，再將分析結果綜合起來，就可解決這類問題，做到不重復、不遺漏。

例2．某小組有學生14名，其中6名是女生，現從14名學生中挑選5名代表參加學校活動，要求至少有2名女生的選法有多少種?

分析：根據“至少有2名女生”這個附加條件，挑選代表有下列4種獨立方式：①選2名女生，再選3名男生；②選3名女生，再選2名男生；③選4名女生，再選1名男生；④選5名女生。以上分析結果綜合起來，其代表選法總數是Ｃ■■Ｃ■■+Ｃ■■Ｃ■■+Ｃ■■Ｃ■■+Ｃ■■=1526(種)。

三、直接與間接分析法

上面例2所用的解法稱為直接法。現用間接法來解，即先不考慮“至少有2名女生”這個附加條件，代表的選法有Ｃ■■種，再剔除不符合條件：所選5名中沒有女生或只有1名女生(即至多只有1名女生的選法)，其代表選法有Ｃ■■－Ｃ■■－Ｃ■■Ｃ■■=1526(種)。

四、元素與位置分析法

元素和位置是解排列組合問題必須考慮的兩類事物。元素分析法和位置分析法是解這種問題的兩種常用方法，一般是先排特殊元素或特殊位置，再排其他元素或位置。

例3．8名同學站成一排表演小合唱，其中學生A領唱不能站在排頭，也不能站在排尾，有多少種站法?

解法一：元素分析法(以元素為主，先排特殊元素)。因為領唱A不能站在排頭或排尾，他只能站在中間六個位置中的任一個上，有Ｐ■■種站法；而對于領唱A的每一種站法，其余7個學生可以在余下七個位置上任意排列，有Ｐ■■種站法，故共有站法Ｐ■■Ｐ■■=30240(種)。

解法二：位置分析法(以位置為主，先排特殊位置)。因為領唱A不能站在排頭或排尾，所以，站在這兩個位置的就只能從其余7個學生中任選2名排上，有Ｐ■■種，而對于以上的每種站法，站在中間位置上的可由余下6名學生任意排列，有Ｐ■■種，故有Ｐ■■Ｐ■■=30240(種)。

五、先組后排分析法

對既有排列問題又有組合問題的應用題，一般是先組后排，即先從給定的元素中選取某些元素進行組合，然后再對選取的元素進行排列。這個方法步驟清楚，思路清晰。

例4．要從10個一級隊員與5個二級隊員中分別選出3人和2人組成一隊參加籃球比賽，如果所選5人都可以站在不同的比賽位置，問有多少種選法?

分析：先組合有Ｃ■■Ｃ■■種選法，后排列有Ｐ■■種，故共Ｃ■■Ｃ■■Ｐ■■=144000(種)選法。

六、捆綁分析法

對n個元素排成一排，其中某m(n>m≥2)個元素要排在一起，可先把這m個元素捆在一起，看成“一個大元素”，與(n—m)個元素一起排，然后再考慮這m個元素的內部排列。

例5．有3個男同學和4個女同學站成一排，其中3個男同學必須站在一起，有多少種站法?

解：先把3個男同學“捆”在一起看成“一個男生”，則“一個男生”和4個女生可看成5個元素，先作這5個元素的全排列，有Ｐ■■排法，而“一個男生”中的3個男同學又有Ｐ■■種排法，故共有Ｐ■■Ｐ■■=720（種）站法。

七、插檔分析法

把一類元素插入另一元素的空檔中，使另一類元素之間互不相鄰。這種方法思路清楚，易于理解。

例6．某班有3個男同學和4個女同學排成一隊，任兩個男同學不站在一起，有多少種不同站法？

解：先把4個女同學排起來有Ｐ■■種，4個女同學排定后，每兩個女同學之間及頭尾兩端有5個空檔，再將3個男同學分插到5個空檔中，每檔插一個有Ｐ■■種，故共有Ｐ■■Ｐ■■=1440（種）不同的站法。

排列組合問題的解題方法不只上述七種，還有圖表分析法、排除分析法、降元分析法、排陣分析法、特征分析法、分配問題分析法等等。教師只要根據問題的不同特點，善于綜合分析，拓寬解題思路，注重培養學生獨立分析問題的能力，學生學習排列組合問題的興趣就會大大提高，難的問題就可以逐步得到解決。

【責編 馮立偉】