旋轉變換 柳暗花明

摘要:旋轉是數學中的重要思想方法，在中考的舞臺上，總少不了它的身影。特別是當條件中出現等腰三角形、正三角形、正方形等基本圖形時，常考慮通過圖形的旋轉構造全等三角形，以集中條件，求得問題的解決。下面我們就來探究一下旋轉的奧秘。

關鍵詞:數學;旋轉變換;思想方法

一、基礎回顧

1.決定旋轉效果的要素

決定旋轉效果的要素是旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向。

2.圖形旋轉變換的性質

(1)一組對應點與旋轉中心連接所成的角是旋轉角， 這些角都相等。

(2)每對對應點到旋轉中心的距離相等。

(3)旋轉前后的兩個圖形全等。

3.旋轉變換證明的基本條件與口訣

基本條件:圖形中至少有兩條相等的線段。

口訣:圖中條件較分散，旋轉圖形試試看。

二、旋轉變換證明的基本圖形

1.等腰直角三角形(如圖1所示)

已知條件:AC=BC，∠C=90°，∠A=∠B=45°。

旋轉方法:

旋轉中心:直角頂點C。

旋轉角度:90°。

旋轉方向:可順可逆。

例1如圖2所示，分別以銳角△ABC的邊AB和AC為直角邊向外作等腰直角三角形ABD和ACE，M是BC的中點，連接DE。

求證:(1)DE=2AM;

(2)S△ADE=S△ABC。

分析:學生初看這個題目，一般會受“M是BC的中點”的影響。用倍長中線法去解決這個問題，但這樣很難證出DE=2AM。如果將△ADE繞點A逆(或順)時針方向旋轉90得到△APB(如圖3所示)，問題則變得非常簡潔方便。

解:(1)延長CA至P，使PA=PC，連接BP，則∠DAE=∠BAP.

又PC=AP=PE，AD=AB，

∴△ADE≌△APB。

∴BP=DE。

∵AC=AP，BM=CM，

∴AM是△CBP的中位線。

∴PB=2AM。

∴DE=2AM。

(2)∵M是BC的中點，

∴S△ABC=2S△ABM=2S△ACM。

∵△ABP和△ABM等高，且BP=2AM，

∴S△ABP=2S△ABM。

∴S△ABP=S△ABC。

∴S△ADE=S△ABC。

2.正方形(如圖4所示)

已知條件:AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°。

旋轉方法:

旋轉中心:各直角頂點。

旋轉角度:90°。

旋轉方向:可順可逆。

例2如圖5，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點，AF平分∠EAD。

求證:BE+DF=AE。

分析:本題直接求BE+DF=AE比較困難，如何將BE、DF、AE三條線段集中起來是解題的關鍵。那么我們可以把△AFD繞點A順時針方向旋轉90°得到△APB(如圖6所示)，這樣問題就迎刃而解了。

證明:延長BC至P，使BP=DF，

又AD=AB，∠D=∠PBA=90°，

∴△PBA≌△FDA。

∴∠P=∠AFD，∠PAB=∠FAD。

∵AB∥CD，

∴∠AFD=∠BAF。

∵AF平分∠EAD，

∴∠FAD=∠EAF。

∴∠PAB=∠EAF。

∴∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+∠PAB=∠PAE。

∴∠P=∠PAE。

∴AE=PE。

∵PE=PB+BE，

∴BE+DF=AE。

3.等邊三角形(如圖7所示)

已知條件:AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。

旋轉方法:

旋轉中心:各頂點。

旋轉角度:60°。

旋轉方向:可順可逆。

4、一種特殊的四邊形(如圖8所示)

已知條件:AD=DC，∠D=∠B=90°。

旋轉方法:

旋轉中心:頂點D。

旋轉角度:90°。

旋轉方向:可順可逆。

例3:如圖9，已知四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC且AD=DC，若BD=4cm。試求出四邊形ABCD的面積。

分析:本題直接看上去，無從下手，但我們轉變思維，將△ABD繞點D逆時針方向旋轉90°得到△CPD，會達到出奇制勝的效果。

現在，你感受到旋轉變換的威力了嗎?你是否有“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的感受呢?

【責編 馮立偉】