在知識建構中演繹精彩生成——從一堂沒有完成『教學任務』的數學課談起

☉江蘇省姜堰第二中學 何拓程

一、背景描述

著名教育家葉瀾教授有過這樣一段精辟的論述：“課堂教學是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循既定線路的沒有激情的行程.”由此可知：課堂教學是一個鮮活的動態生成過程.在這一充滿生機的過程中，面對一個個靈動的學生，教師如何才能利用自己的教學智慧，抓住稍縱即逝的教學機遇，引領學生全身心地投入到知識的建構與再創造中，以不斷演繹課堂教學的精彩？筆者就一堂沒有“完成”教學任務的數學課為例，對此作出必要的詮釋，并提出一些教學反思，供大家參考.

二、課堂實錄

2.1 預料之中的錯誤

這堂課是從下面的一道習題入手的：

引例 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法有（ ）.

A.140種 B.84種 C.70種 D.35種

作為一節課的引入，這個題目并不難.以我過去的教學經驗來看，將有相當一部分同學會出現錯誤，我之所以將此題拿出來，就是防患于未然，使學生以后能注意到這方面的問題.這是我很為之得意的“問題”引入法，課在進行中……學生對這個題目顯然也頗為自信，不一會就做出來了：

面對預料之中的錯誤，我故作鎮靜地點評道：很好，第一步滿足“至少”這一條件，第二步滿足“取3臺”的要求……然而這時課堂內有個學生困惑地嘟呶著：“我是分類做的，怎么結果不同呢？”這正是我所需要的，于是立即請這個同學回答，并鼓勵他大膽一點.

2.2 合乎情理的探究

教師：請同學們思考，究竟哪一個是錯的？（我很是得意，課在我預先設計的框架內進行）

學生們相互討論，氣氛十分熱烈，但是結果還是兩種，誰也說服不了誰.這時，我建議他們可以排排看.

然而那么多種取法怎么可能很快排出呢？時間一分分地過去了，我有點著急了，因為這才是這節課的一個序幕（.這種急是沒有道理的，因為充滿活力的課堂并不是完全能夠預先設計的，教師不可能洞察學生的全部，只能是引導者）這時班上一個頭腦很靈的小男生不舉手就搶著回答.

生3“：可簡化這個題目.”

我問結論是什么，他不好意思地說，還沒做出來呢.

為了節約時間，我就直接講下去了……（敗筆！應該讓學生3自己做下去，而且要讓其他同學參與討論如何進行簡化，并幫助分析找出問題的癥結所在）

教師：我們將問題簡化：從2臺甲型和3臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法有多少種？

將2臺甲型電視機分別記作A1、A2，3臺乙型電視機分別記作B1、B2、B3.第一步選的如果是A1、B1，第二步選的如果是A2，得到結果A1A2B1；但是如果第一步選的是A2、B1，第二步選的是A1，得到結果也是A1A2B1.而這種重復的種數就隱含在生1的解法中.因此，生2的解法是正確的.

雖然，在這題上花了些時間，我也能讓學生得到思考，并且能讓學生知道該題錯因，個人認為效果應該不錯（有點自以為是了，如果讓學生自己動手去感受，可能是另外一種情形），于是我們接著按照課前的教學設計繼續下去.

2.3 出乎意料的結果

例1 已知A={x|1＜log2x ＜3，x∈N*}，B={x||x-6|＜3，x∈N*}.問：從集合A中取出1個元素，從集合B中取出3個元素，共可組成多少個無重復數字且比4000大的自然數？

這是《數學周刊》第44期上《計數原理》中的一題.

我選擇此題是因為原題提供了錯誤的解答，而這個錯誤恰恰是剛才討論過的，我預計不會有很多同學再發生上述錯誤了.然而事情和我想象的相反，絕大多數學生是這樣解的：

由已知得A={3，4，5，6，7}，B={4，5，6，7，8}.從A中的4、5、6、7中取1個元素，共有種取法，再從B中取3個元素，有種取法，可組成無重復數字且比4000大的自然數共有個；從A中取3，再從B中取3個元素，有種取法，可組成無重復數字且比4000大的自然數共有個.故滿足題意的自然數共有A=564（個）.

這和原題提供的解法一樣——是錯誤的！

這樣的結果讓我大為失望：為什么精心設計而且非常流暢的課，效果卻不好呢？（完全沒有必要這樣，一道沒有研究透徹的引例就能變成解決一類問題的“良藥”？）我無奈地再次類似于引例的講法進行分析、講解（這種做法明顯不妥，應該讓學生自己去探究，去發現，可在學生充分研究的基礎上得到兩個問題之間內在的一致性，因為學生對題目的熟悉程度不可能達到教師的水平，更不要說能一眼看出它的出處）.

由于節外生枝用去了不少時間，課堂氣氛一下子也隨我的情緒而落到了冰點.我只好拿出教師傳統的法寶——“講”（敗筆！這時最需要冷靜，任何情況下都不要忘記教師只是一個配角.由于失去了最佳的探究時機，學生可能還會有類似的錯誤.）

2.4 虎頭蛇尾的結局

教師：將集合A與集合B并起來得到{3，4，5，6，7，8}，然后再進行思考…（還好，沒有一講到底）

教師：很好！能特別注意到無重復和比4000大的條件，有沒有其他解法？

生5：可用去雜法：不考慮比4000大的條件，只考慮數字不重復的四位數共有種，去掉3排在最高位的，共有-=300（種）.

生6：還可以先在4、5、6、7、8中選一個排在四位數的最高位有種方法，第二步再在剩下的5個數字中選3個排在四位數的后三位有種排法，故共有種排法.

這時課堂氣氛又活躍起來了，我的情緒也逐步調整到位，再次啟發學生有沒有新的思路.

教師：好！同學們討論得很熱烈，課后請大家思考：為什么同一類問題，當形式略有改變時會出現如此出人意料的結果呢（其實最應該思考的是我自己）？

雖然討論還算熱烈，但是一堂課的時間已到，距離原先準備的教學目標還有一定的差距，因此，我心里覺得很不愉快，一堂課就這樣虎頭蛇尾地結束了.

三、教學反思

課后，筆者對這節課進行了認真的反思：

3.1 課堂設計的機械性

建構主義認為：知識不是通過教師傳授得到的，而是學習者在一定的情境下，借助教師和學習伙伴等其他人的幫助，通過意義建構的方式而獲得的.一開始筆者就走入自己設下的誤區，認定學生應該按照教師設計的套路一步一步地獲得知識，忽略了學生是活生生的人.同時，認為用一道題就能解決一類問題這種想法本身就是不科學的.因此，生動的課堂不能只是按照預設的教學方案，機械、僵化地傳授知識的線性過程，而應該是教師充分捕捉課堂信息，不斷調整教學預設的動態生成的過程.

3.2 傳統觀念的頑固性

新課標中指出：“教學中，應鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與.既要有教師的講授和指導，也有學生的自主探索與合作交流.教師要創設適當的問題情境，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識形成的過程.”本節課中筆者雖然已經注意到讓學生自主探索與合作交流，但是，受傳統觀念的束縛，仍然放不開手腳，特別是出現自已意想不到的局面時，傳統的完成“教學任務”的觀念立即占了上風，而學生是否掌握、是否理解和運用就放在次要的地位.要知道，我們最終的“任務”是幫助學生發展其優良的思維品質，而不是完成我們自己所設計的“任務”.課堂是一個充滿活力的開放陣地，怎么可能一定會完全落入教師預先設計的框架內呢？

如果筆者在得到例1的錯解后，冷靜地肯定學生解法中的合理的因素，同時引導學生自主地找出錯誤的原因，并幫助學生尋找解決問題的方法，這樣就能有效地避免前面出現的冷場.以下是筆者經過思考后在另一個班上課的部分實錄：

教師：好，我們一起來分析一下這個答案.

學生很快就自己分析起來，因為有引例的鋪墊，找出解答中的錯誤并不難.自己發現錯誤遠沒有讓別人指出錯誤那么使人難堪，因此課堂情緒沒有受到影響.

教師：我們發現了問題的癥結，已經向成功邁出了一大步，但我們也不必全盤否定前面的成果呀，能不能進行一些改進，化腐朽為神奇呢？

同學們認真地思考著……

生1：可以用去雜法，A中取4，B中取5、6、7；A中取5，B中取4、6、7；A中取6，B中取4、5、7；A中取7，B中取4、5、6，得到的是一樣的.

生2：還有呢，在A中取4，B中取5、6、8；A中取5，B中取4、6、8；A中去6，B中去4、5、8，得到的也是一樣，應減去2.

教師：這種情況共有多少種呢？

學生在討論著.

同學們深深地嘆了一口氣.

教師：從以上解法看，的確不好做，甚至很煩瑣.能否找到一個簡潔方法呢？

同學們再次深思，幾個學生小聲議論：重復的原因是A、B中有重復的元素呀.

教師：說得好！假如沒有重復的元素就好了.

生4馬上舉手，躍躍欲試.

生4：可將A、B并起來考慮.

教師：怎么想到的？合理嗎？

生4：沒有做到底，但我想至少是合理的，因為集合中的元素都是互異的.

教師：好，那我們就試試看吧.……

這樣不急不躁，穩步推進，較好地調動了學生的積極因素，教學的品味在交流中升華.

3.3 不良情緒的制約性

課堂教學是一個動態生成的過程，有效的數學課堂離不開教師的精心預設，但更需要精彩的生成.教學活動應該是緊緊圍繞著學生的思維活動而展開的，學生只有親身體驗了發現問題、提出問題、探究問題、解決問題的過程，才能感受到探究過程的艱辛和探究獲得成功的樂趣，因此特別要提倡師生平等、教學相長，創造民主、活躍的氣氛，努力使學生釋放出巨大的創新潛能，作為設計者、點撥者、賞識者和點評者，教師要積極地鼓勵學生大膽猜想、合理聯想，勇敢地發表自己的見解，而且要給學生創造提出問題的條件和機會，努力培養學生的問題意識.而筆者在教學進程受阻時的不良情緒影響了課堂的氣氛，使學生失去積極思維、勇于探索的機會，這是很不科學的，要知道和諧、快樂是一種能力，我們要帶著智慧進課堂，更要將快樂留給學生.

四、結束語

一堂課的成與敗不能僅僅看是否完成了本節課的教學內容，獲得了多少知識，更重要的是在一節課的學習中，訓練了學生什么樣的技能，培養了學生什么樣的能力，發展了學生什么樣的思維品質.一堂好課，更應該從順應學生的發展，使學生領悟到更多東西的角度上來考察，這才是學生最需要的，也是最具生命力的，同時也是最有意義的課.