數學教師承擔什么樣的角色——評講試卷中的三個函數題

☉湖北省長陽二中 胡新生

教師在教育教學中的作用與地位是一個眾說紛紜的話題.數學教師在教育教學中又應該承擔什么角色呢？下面我給出一個教學案例讓大家一起來分析.

函數抽象于生活實際，將為解決生活實際服務.函數是數學的重要思想方法，那么在學習中務必要重視函數的工具作用，增強函數意識，從而提高分析和解決問題的能力.于是在高三的一次月考后我對試卷中的三個函數問題作出如下引導.

師：同學們，本節課我們對本次月考中的三個函數問題進行繼續探討，希望同學們能從中領悟函數的工具作用.下面請同學們再分析填空題的第二題.

題 用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，則其體積最大是______.

師：此題研究體積，那么從什么角度去考慮？

眾生：體積的計算，長方體體積等于長乘寬乘高.

師：正確.解決應用題，建立數學模型是關鍵，此題原始的數學模型就是V長方體=長×寬×高，我們怎么去表達它？也就是怎么用數學符號描述？

師：非常好！，設變量描述此式，并且長、寬、高是相關的.不過，還需注意什么？

生：所設變量的范圍.

師：很好，也就是函數的定義域.怎么得到函數的定義域？

某生：結合實際情況，長方體的各棱長都大于0.

師：好的！可以看出函數在我們的生活中，我們要懂得用變化的（函數）觀念來看待事物

下面請同學們自行完成此題.

……等待大部分學生基本完成后.

師：下面請同學們分析填空題的第五題，注意讀懂題意.

師：此題的含義是（翻譯成我們通俗的語言）什么？

眾生：集合A中有兩個元素.

師：準確點就好啦.

某生甲：集合A中有兩個正數.

沉默片刻.

師：是否需要求該方程的根？

某生丙：不需要，方程根的個數可以轉化為曲線交點，數形結合可以求解.

師：很正確.如何轉化？

師：函數圖像便于分析么？

師：能否說說原因？等等，讓其他同學思考一會兒.

師（微笑）：你說出了我要說的話，下面請同學們去繪出兩個函數的圖像，并分析結果，可以相互討論.

估計一般的同學可以數形結合了之后.

師：剛才我們應該進一步認識到了方程與函數的關系，事實上方程的根就是相關函數圖像交點的橫坐標.下面請同學們分析解答題第21題的第二問，特別請同學們注意數學符號形式的引導，要能從現象透視本質.

師：回憶一下證明不等式的常用方法，并思考條件與結論是否有必然的聯系.

眾生：證明結論需利用函數的性質.

師：怎么去聯系與利用？同學們可以相互討論一下.

某生：可以將要證明的結論轉化為f（a）-2a

利用g（x）在［0，1］的單調性，也就是證明g（a）

師：太好啦！可以看出不等式是函數的一個方面，并且在變形時還遵循了一個原則，這個原則是什么？

眾生：“物以類聚”.

師：透過現象分析本質是我們要認真思考的.那么，同學們是否還有其他方式？試試看.

稍等后.

師：我們要解決的問題是否可以看做比較兩個數的大小關系？

眾生：哦……

某生：作差比較，也就是去判定f（a）-f（b）-2a+2b<0.

師：好的！同學們思考怎么判定？

一會兒后.

師：同學們別忘了函數哦！

某生：就是求函數的最大值.

師：求哪個函數的最大值？

某生：可以當做關于a的函數，即h（a）=f（a）-2a-f（b）+2b在a∈（b，1］時的最大值.

另一生：也可以當做關于b的函數，即h（b）=f（a）-2a-f（b）+2b在b∈［0，a）時的最大值.

師（微笑）：非常好，通過現象去分析本質是解決問題的又一個關鍵.它不僅僅用于數學解題.那么，剩下的請同學們自己完成，并認真思考通過這三個題你獲得了什么.

……

反思練習1：設球的半徑為時間t的函數R（t）.若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑（ ）.

A.成正比，比例系數為c B.成正比，比例系數為2c

C.成反比，比例系數為c D.成反比，比例系數為2c

師：請同學們把三個反思練習完成好.不過千萬別忘了，函數抽象于生活實際以及方程、不等式與函數的真正聯系；當然更要學會通過現象去聯系、去分析、去挖掘事物的本質，以達到解決問題的效果.

一節課就這樣結束了.作為數學教師究竟要承擔什么角色是需要探討的問題，也是一個長久的話題.最起碼教師不能只是“教書匠”.