關于實變函數課程的教學探討

劉佳瑞

一、實變函數課程現狀

工科院校數學系一般在大三上半學期開始實變函數課程教學。該課程是數學系的一門必修課，它以抽象的語言奠定了近代數學的嚴格化基礎，主要研究集合論、函數的連續性、可測性、可微性和積分理論，研究對象是更為廣泛的函數，它是現代分析數學的基礎，對以后學習泛函分析、概率論、復變函數、動力系統等數學專業課非常有幫助。實變函數是研究生階段學習索伯列夫空間理論、動力系統的遍歷理論以及調和分析、現代幾何分析等課程和專業的基礎，也是信息和圖像處理、編碼學等其他專業的基礎。

一般工科院校采用的教材是張曉嵐編著的《實變函數與泛函分析簡明教程》，該教材內容簡練，附錄中介紹了相關內容的發展簡史，有助于學生理解書的內容。我們一般用6 4學時講授實變函數的內容，在如此短的學時中，要想完全掌握是有相當難度的。在教學過程中，講授大多采用定義、定理的公式化形式，節奏比較快。其次，由于課程改革的原因，數學分析等基礎課程內容縮水，再加上許多工科院校偏應用數學，對基礎學科的很多課程重視程度不夠，過分依賴現代計算技術，忽略一些重要的基礎課程和基本定理，很多學生沒有對微積分的實質進行充分的理解，對積分和可測等概念理解起來有困難，面對眾多構造性的習題感覺難度很大。因此，大部分學生覺得該門課程極其抽象、晦澀難懂，部分學生在學習的過程中知難而退，缺乏積極專研的精神，導致成績出現了兩極分化的現象。

二、實變函數教學中應注意的問題

（一）從宏觀上把握實變函數的內容

“實變函數”，顧名思義就是以實數為變量的函數，主要研究恰當的改造積分定義使得更多的函數可積。例如，形式極為簡單的D（x）函數，利用Riemann 積分的定義它是不可積的，而本課程創立了一種新的積分理論———Lebesgue積分，按照Lebesgue積分的理論D（x）是可積的，從而使得積分的操作性更加靈活。那么，Lebesgue 積分的思想到底是什么？此時，引導學生回憶《數學分析》中的Riemann 積分，積分區間、被積函數具有什么特征，哪些函數是R 可積的，為什么這些函數是R 可積的，進而總結出Riemann 的積分思想，即必須使得在劃分定義域區間[a,b]后，函數f （x）在多數小區間Δxi 上的振幅能足夠的小，這就迫使激烈震蕩的函數被排除在可積函數類外。例如，函數D（x）在任意小的區間上的振幅都不可能足夠的小。那么，怎樣才能使震蕩激烈的這些函數也可積呢？我們啟發學生轉變一種劃分的方法，即由劃分函數的定義域轉變為劃分函數的值域，從而限制函數值變動的振幅，也就是按照函數值的大小歸類，將振幅小的函數值放在一起。Lebesgue 對他的這一設計有生動的比喻：假如我欠了人家許多錢，現在要歸還，此時，應先按照鈔票的票面值的大小分類，再計算每一類的面額總值，然后再相加，這就是我的積分思想。如果不管面值的大小如何，而是按某種先后次序來計算總數，那就是Riemann 積分的思想。

通過宏觀介紹Lebesgue積分思想，使學生體會為什么要學習這門課程，進而激發學生的學習興趣。學生帶著問題去學習，迫切的想知道“如何計算Lebesgue積分”。我們用啟發、引導的教學方法，以函數D（x）為例作進一步的闡述。把函數值為1的有理點分在一起，將函數值為0的無理點分在一起，就保證了振幅足夠小，但是分割值域后所對應的定義域中的集合分別為[0,1]的有理數、無理數。此時，同學們會發現這兩個集合很不規則，那么這些集合是否可測量？如果可測量的話，如何度量這些不規則集合的“長度”呢？這是我們第二章所學的內容。上述問題能否解決，與所給的函數y=f（x）的性質有關，從而定義了可測函數，這是第三章所學的內容。這樣就形成了測度—可測函數—Lebesgue積分這樣一個系統。通過這樣宏觀的介紹，學生清楚了本課程的整體脈絡，為進一步學習打下了良好的基礎。

（二）掌握好基本概念，深刻理解基本定理的證明思想

實變函數課程當中概念非常多，且大多比較抽象，但是最基本的概念和最重要的定理的證明思想一旦把握，該課程學習起來就變得相對容易和有章可循。比如，在講集合的勢的概念的時候，通過簡單的奇數偶數個數的多少來引入和理解概念，把自然數、有理數、無理數、實數的勢分別作為最基本的單元，其它的集合的勢類比上述集合理解，則集合的勢的概念變的立體鮮明起來。集合的勢的核心思想就是一一對應，掌握了這一基本思想，在證明各類集合的勢的關系的時候就有章可循了。

（三）根據本課程的特點，指導學生采取恰當的學習方法

《實變函數》課程內容高度抽象，理論性強，定義、定理、證明非常多，只在第四章有少量計算Lebesgue積分的題目。在學習其他數學課程的時候，學生最頭疼的就是證明題，常常感到無從下手，老師也弱化了對學生證明能力的培養。然而，這種能力在本課程中將得到很好的鍛煉。在學習的過程中，我們以提問的方式讓學生從思想上感知該課程的特點。例如，自然數與正偶數哪個多？按照之前直觀的想法大家會認為自然數多，其實這兩個集合中的元素一樣多，因為在兩個集合之間可以建立一一映射，用類似的方法我們還可以得出兩個同心圓上的點一樣多等等。因此，在學習本課程的時候，學生首先要轉變思維方式。其次，本課程的語言相當的簡練、嚴謹，可以說課本內容中沒有一句廢話，若對定理內容稍作修改得到的結論有可能大相徑庭。因此，對于每一個未證明的結論都應該持謹慎的態度，不能簡單類比后就盲目得出結論。同時對每一個已知結論不應僅是記住，更重要的是理解其證明，并且借鑒其證明方法。例如證明一個集合是可數集等等。因此，學生在學習實變函數的時候，應該多問幾個為什么？對于每一個證明過程都應該清楚支撐它成立的理論依據，切忌想當然。

（四）與數學分析進行類比的學習

《實變函數》是《數學分析》的深化和擴展，是在更廣闊的背景下來討論微積分的課題。因此，在學習類似概念的時候要注意它們之間的聯系與區別。例如，幾乎處處成立、基本成立，可測函數列的幾種收斂，以及積分的極限定理等，特別是一致收斂、依測度收斂的概念等數學分析當中已有部分例子，理解好上述例子后，在實變函數課程當中的定義證明就變得相當明了和直觀。同時建議學生通過比較的方法來學習Lebesgue積分的定義、性質，最后歸納出與Riemann積分的異同，以及二者之間的關系。同學們會發現實變函數里也有重積分、累次積分、變上限積分求導以及微積分基本公式等內容，理解他們就變得相對容易起來。

（五）加強反例教學，深刻理解主要定理

實變函數里許多命題和結論的條件性都非常強，稍微變換條件對結論就有非常大的影響，嘗試舉反例對提高數學思維和揣摩定理內涵有非常大的益處，可以發現哪些條件是必須的，起著什么樣的作用，為改進前人的結果和發現新的定理和證明提供好的思路和方法。比如，找出一個函數不連續但其平方連續的例子，構造直線上的不可測集合非正則的波爾測度等等。

（六）多動手，多做習題

學習數學特別是學習實變函數課程，習題環節是個必不可少的。通過做題能夠加深對知識點的掌握，通過大量的習題加快做題的熟練程度和培養數學思維、提高數學學習興趣。許多著名數學家年輕的時候都做了大量的習題，比如著名數學家田剛在讀本科時，就已經把吉米多維奇數學分析習題集演算了一遍，打下了堅實的分析基礎。

三、相關建議

（一）合理安排課程設置，加強基礎課程教學

進一步加強基礎課程，尤其是《數學分析》的教學，許多工科院校大幅壓縮數學分析的授課內容和要求，導致理解實變函數有很大的困難。在講授函數的連續性和可導性、積分理論方面多下功夫，引導學生深刻理解集合、極限等概念，熟練掌握有關積分的本質描述和刻畫，為進一步學習《實變函數》打下良好的基礎。在課程設置時適當增加學時，便于同學們理解如此抽象的內容和知識。

（二）適當加強數學史方面的介紹，提高學生學習熱情

實變函數本身內容有些枯燥，但是若能在課堂教學中穿插一些數學典故、名人故事和一些定理證明的來龍去脈的講授，能大大提升學生的學習興趣。比如我們在講授實變函數的產生的時候，就從如下的數學問題開始討論：連續函數除個別點以外是可微的是否正確？維爾斯特拉斯就構造了一個函數并且證明了這個函數在任何一點都不可導，這個結論促使人們研究函數的更多性質，哪些函數是連續的，哪些函數是可導的，哪些函數是可以積分的，是否要修改積分的定義等等，這就促使了實變函數的誕生。也可以在講授積分內容的時候引入勒貝格和黎曼的一些經典典故來提高學生的學習興趣。

（三）酌情加強數學前沿學科內容講授，讓學生明白學有所用

實變函數與現代數學前沿密切相關，酌情增加部分內容讓學生明白學習目的所在。比如在講授康托集的時候，可以提問我國的海岸線有多長，雪花的周長等于多少等系列問題，進一步引出維數是否都是整數，如何描述測量時的尺度等引出法國數學家芒德勃羅所開創的現代非常流行的現代分形幾何學。在描述測度和積分的時候，可以引入隨機測度和伊藤積分等內容，而隨機微分方程是現代金融數學的一個十分重要的工具，利用它可以建立期貨、股票、債卷等金融衍生工具的研發模型，預測一些重要的經濟形勢和走向。在討論空間理論時，可以引出索伯列夫空間理論，通過構造合適的空間并建立相應的完備化理論，簡單介紹山路引理等現代變分理論在研究哈密頓系統周期解方面取得的進展。

（四）加強習題課的設置和師生間的交流與溝通

在講授完定理的證明后，應該有針對性的設計一些能反應實變函數思想和特色的習題來幫助理解相關內容，同學們在思考的過程當中充分理解原來定理的深刻內涵。在學習的過程中多讀、多看、多思考，同時，注重作業的完成質量。遇到困難要及時與老師、同學溝通，以免積累的問題過多，喪失學習的信心。

［1］張曉嵐.實變函數與泛函分析簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2006.

［2］周明強.實變函數論[M].北京：北京大學出版社，2001.

［3］陳紀修等.數學分析[M].北京：北京高等教育出版社，2006.