利用圖像解決與二次函數相關的問題

☉河南省開封市第十四中學 劉 震

初中已經學習了一元二次方程、二次函數的圖像和性質，這些內容是高中學習函數的重要基礎.高中數學并沒有再安排二次函數的課題，二次函數的內容穿插到各章節之中，遇到的問題比初中復雜，難度變大，學生感到困難.這里向同學們介紹怎樣通過數形結合的方法，利用二次函數的圖像解決與二次函數相關的問題.

一、利用配方法和圖像求二次函數的值域及其變式

例1已知f（x）=x2-4x-4，x∈［0，3］.

求函數的值域.

解：f（x）=（x-2）2-8，畫出函數的圖像.

如圖1，觀察圖像知：

當x=0時，f（x）有最大值f（0）=-4；

當x=2時，f（x）有最小值f（2）=-8.

故函數的值域為［-8，-4］.

說明：解決上述問題的步驟是：①配方；②本著先虛（定義域外）后實（定義域內）的原則畫出圖像；③根據上大下小的原則確定函數的值域.

例2 已知二次方程x2-4x-4-a=0在［0，3］上有解，求實數a的取值范圍.

錯解：由Δ=（-4）2-4×1×（-4-a）≥0，得a≥-8.

這是因為上述解法只保證方程有解，不保證解在［0，3］內.

正解：原方程在［0，3］上有解?x∈［0，3］時，函數a=x2-4x-4的值存在.

由例1知a∈［-8，-4］.

例3 已知對任意x∈［0，3］，x2-4x-4-a＜0恒成立，求實數a的取值范圍.

解：由原不等式得a＜x2-4x-4.

設t=x2-4x-4，x∈［0，3］，

由例1知t∈［-8，-4］.

又對任意x∈［0，3］，a＞t恒成立，

故a＞-4.

例4已知f（x）=x2-4x-4，x∈［t，t+1］.若f（x）的最小值為g（t），求g（t）的解析式.

解：f（x）=（x-2）2-8.

（1）當t＜1時，t+1＜2，觀察圖像知：

g（t）=f（t+1）=（t+1）2-4（t+1）-4=t2-2t-7.

（2）當1≤t≤2，t+1≥2，觀察圖像知g（t）=-8.

（3）當t＞2時，觀察圖像知：

g（t）=f（t）=t2-4t-4.

二、利用圖像解決與二次函數性質相關的問題

例5函數f（x）=x2-2ax-3在區間［1，2］上存在反函數的充要條件是（ ）.

A.a∈（-∞，1］ B.a∈［2，+∞）

C.a∈［1，2］ D.a∈（-∞，1］∪［2，+∞）

解：f（x）=（x-a）2-a2-3.

（1）當拋物線的對稱軸直線x=a在區間［1，2］的左側，即x≤1時，函數單調遞增；

（2）當拋物線的對稱軸直線x=a在區間［1，2］的右側，即x≥2時，函數單調遞減.

故f（x）在［1，2］上存在反函數的充要條件是a∈（-∞，1］∪［2，+∞），選D.

例6如果函數f（x）=x2+bx+c對任意實數t都有f（2+t）=f（2-t），那么f（1），f（2），f（4）從大到小的排序為______.

解：由f（2+t）=f（2-t），

知拋物線的對稱軸為直線x=2.

畫出函數的圖像如圖2，觀察圖像知：

說明：設f（x）是二次函數，

三、利用圖像解決一元二次方程根的分布問題

例7已知二次函數f（x）=2（k+1）x2-（k2-3）x-（k-1）的圖像與x軸有兩個交點，這兩個交點分別在點（-1，0）的兩側，求k的取值范圍.

解：（1）當2（k+1）＞0時，y=f（x）的圖像如圖3所示，需滿足f（-1）＜0.

（2）當2（k+1）＜0時，y=f（x）的圖像如圖4所示，需滿足f（-1）＞0.

綜合（1）（2）知，k＜-1或-1＜k＜0.

例8 方程x2-6x+4a2-3=0有絕對值不大于1的實數解，求其中a的取值范圍.

解：設f（x）=x2-6x+4a2-3，使f（x）=0.

有根x∈［-1，1］，注意對稱軸方程為直線x=3.

畫出函數y=f（x）的圖像如圖5所示，則它與x軸在對稱軸左側的交點位于［-1，1］內.

說明：一元二次方程的根的分布問題在形上的體現就是拋物線與x軸交點的位置問題.

四、綜合應用

例9 已知函數y=x2-2ax+a2-1在［0，1］上為減函數，問當a取何值時，在［0，1］上y＞0恒成立.

解：由y=x2-2ax+a2-1配方得y=（xa）2-1，對稱軸方程為x=a，頂點坐標為（a，-1）

（1）要使x∈［0，1］時f（x）是減函數，需函數y=f（x）的圖像如圖6所示，則對稱軸在直線x=1或直線x=1的右側，需滿足a≥1；

（2）要使x∈［0，1］上f（x）＞0恒成立，注意在a≥1的條件下，函數y=f（x）的圖像如圖7所示，需使f（1）＞0，即1-2a+a2-1＞0，解得a＜0或a＞2.故a＞2為所求.

練一練：

1.設函數f（x）=ax2+bx+c，已知f（x）=0的兩根分別在區間（1，2）和（2，3）.則（ ）.

A.f（1）f（2）＞0B.f（1）f（2）＜0

C.f（1）f（3）＜0D.f（2）f（3）＞0

答：B

2.已知f（x）=4x2-4ax+a2-2a+2在區間［0，2］上有最小值3，求實數a的取值的集合.

（1） 當a＜0時，f （x）min=f （0）=a2-2a+2使a2-2a+2=3， 得a=1-

（3）當a＞4時，f（x）min=f（2）=a2-10a+18，使a2-10a+18=3，得a=