對(duì)一節(jié)『課題學(xué)習(xí)』的認(rèn)識(shí)

☉江蘇省贛榆縣外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 顏世波

一、關(guān)于“課題學(xué)習(xí)”

在新課程標(biāo)準(zhǔn)目錄的第三部分“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”中我們可以看到，每個(gè)學(xué)段均分為“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個(gè)領(lǐng)域，并分別闡述其內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn).其中“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”是幫助學(xué)生綜合運(yùn)用已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問(wèn)題，以提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，加深對(duì)“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的理解，體會(huì)各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系.對(duì)于七—九年級(jí)的“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”，新課程標(biāo)準(zhǔn)是以“課題學(xué)習(xí)”的形式出現(xiàn)的（第一、第二學(xué)段則以“實(shí)踐活動(dòng)”、“綜合應(yīng)用”的形式出現(xiàn)），從已見(jiàn)到的“蘇科版”教材看，每一冊(cè)均在課本最后安排編寫一個(gè)“課題學(xué)習(xí)”的內(nèi)容，讓學(xué)生探討一些具有挑戰(zhàn)性的研究課題，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)和能力；同時(shí)進(jìn)一步加深對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系.

課題學(xué)習(xí)的具體目標(biāo)是：

1.經(jīng)歷“問(wèn)題情境—建立模型—求解—解釋與應(yīng)用”的基本過(guò)程.

2.體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步形成對(duì)數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識(shí).

3.獲得一些研究問(wèn)題的方法和經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維能力，加深理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).

4.通過(guò)獲得成功的體驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的自信心.

七年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)課本安排的“課題學(xué)習(xí)”的題目是“制作無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒”，它正是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中的一個(gè)案例.新課標(biāo)在此明確指出，通過(guò)這個(gè)課題學(xué)習(xí)，讓“學(xué)生進(jìn)一步豐富自己的空間觀念，體會(huì)函數(shù)思想及符號(hào)表示在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，進(jìn)而體驗(yàn)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，發(fā)展自己的思維能力”.這就為我們教學(xué)“制作無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒”這一“課題學(xué)習(xí)”指明了目標(biāo)和方向.

二、教師應(yīng)了解本課題學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)背景

“蘇科版”七年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）P125安排的“課題學(xué)習(xí)”是“制作無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒”，其內(nèi)容為：

●如何用一張正方形的硬紙制作無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒？

●怎樣制作才能使長(zhǎng)方體紙盒的容積盡可能大？

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，課本通過(guò)“議一議”：無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒展開(kāi)后是什么形狀？幾乎所有學(xué)生都有這樣的感性認(rèn)識(shí)：只要將正方形硬紙的四個(gè)角剪去大小一樣的正方形，然后折起來(lái)，就可以制成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒（當(dāng)然，用一張正方形的硬紙制作無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒也可有其它的制作方法），因此，無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒展開(kāi)后可以是正方形的硬紙四角剪去大小一樣的小正方形后余下的部分.對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，可以采用合作學(xué)習(xí)的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐研究去嘗試、體會(huì)“無(wú)蓋長(zhǎng)方體容積變化與小正方形邊長(zhǎng)變化”之間的關(guān)系.這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是高中函數(shù)、不等式有關(guān)知識(shí)及應(yīng)用.對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，應(yīng)該了解本課題深刻的數(shù)學(xué)背景.

如圖1，設(shè)正方形硬紙的邊長(zhǎng)為a，其中四個(gè)角上剪去小正方形的邊長(zhǎng)為則制成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積V可以表示成x的函數(shù)：

圖1

要求V的最值可以用高中不等式的知識(shí)求解.

三、通過(guò)課題的學(xué)習(xí)使學(xué)生獲得一些研究問(wèn)題的方法與經(jīng)驗(yàn)

1.對(duì)于課本P175“做一做”中的“制作容積盡可能大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒”，可引導(dǎo)學(xué)生利用“插值法”尋找V的最值.

①因?yàn)閤=3時(shí)，V3=588；x=4時(shí)，V4=576.

②再在兩個(gè)較大值之間插值：

因?yàn)閤=3時(shí)，V3=588；x=3.5時(shí)，V3.5=591.5.

V3.25=（20-2×3.25）2×3.25≈592.31（cm3）.

③再在兩個(gè)較大值之間插值：

因?yàn)閤=3.5時(shí)，V3.5=591.5；x=3.25時(shí)，V3.25≈592.31（cm3）.

如此繼續(xù)操作.可在精度范圍內(nèi)逼近最值.

2.對(duì)此問(wèn)題的解決，可以用華羅庚先生的優(yōu)選法（0.618法）.

①由前面的計(jì)算知，x1=3、x2=4時(shí)對(duì)應(yīng)的容積較大，因此在x1=3和x2=4之間插入x3，取x3=x1+0.618×（x2-x1）=3.618，計(jì)算對(duì)應(yīng)的容積：

②再在兩個(gè)較大值之間插值：

所以在x1和x3之間插入x4＝x1+0.618（x3-x1）≈3.382，

計(jì)算對(duì)應(yīng)的容積：V3.382=（20-2×3.382）2×3.382≈592.50（cm3）.

由此可知華羅庚先生的優(yōu)選法比一般的插值法要好，它可以通過(guò)較少的插值次數(shù)獲得較高的精度.

總之，通過(guò)本課題的學(xué)習(xí)，我們可以讓學(xué)生獲得如下的一些研究問(wèn)題的方法和經(jīng)驗(yàn)：

①體會(huì)用“離散”來(lái)描述“連續(xù)”，或通過(guò)畫(huà)出統(tǒng)計(jì)圖等方法來(lái)研究一些量的變化規(guī)律；

②體會(huì)用“插值法”（含優(yōu)選法）尋找最值的經(jīng)驗(yàn).

四、課本最后“想一想”的解決

課本P175安排了“想一想”：你還能制作容積更大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體嗎？

回答這個(gè)問(wèn)題，可以有兩個(gè)層次.

第一，用插值法探求.在刻度尺精度范圍內(nèi)，取x=3.3或3.4cm時(shí)，可以得到比較理想的容積更大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體.

第二，改變?cè)鹊脑O(shè)計(jì).不剪去正方形硬紙的四個(gè)角，不浪費(fèi)材料，例如，把正方形硬紙對(duì)折，取其一半作為長(zhǎng)方體的底，另一半平均分為三部分，取其二作為長(zhǎng)方體的兩個(gè)側(cè)面，再把余下的一塊一分為二，作為長(zhǎng)方體的另兩個(gè)側(cè)面.此時(shí)無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積：