揭開(kāi)二次函數(shù)中考的面紗

☉江蘇省泰興市黃橋初級(jí)中學(xué) 陸群蘭

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要內(nèi)容之一，更是歷年各地中考的熱點(diǎn)，有些同學(xué)在解題時(shí)往往考慮不周、知識(shí)綜合應(yīng)用能力不夠或其他各方面因素的影響，造成解題的困難.特別是近年來(lái)出現(xiàn)了不少知識(shí)面廣、題型設(shè)計(jì)新穎、求解方法靈活的創(chuàng)新型問(wèn)題，為了方便同學(xué)們及時(shí)了解中考信息，掌握中考題型，現(xiàn)就常見(jiàn)的創(chuàng)新題型總結(jié)如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、求字母的取值范圍

例1 （2011年湖北襄陽(yáng)市）已知函數(shù)y=（k－3）x2+2x+1的圖像與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）.

A.k<4 B.k≤4 C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3

解析：當(dāng)k－3=0即k=3時(shí)，此函數(shù)為一次函數(shù)，它的圖像與x軸有交點(diǎn)；當(dāng)k－3≠0即k≠3時(shí)，此函數(shù)為二次函數(shù)，因?yàn)樗膱D像與x軸有交點(diǎn)，則Δ=22－4×（k－3）×1≥0，解得k≤4.綜上所述，k的取值范圍是k≤4，故選B.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于本題，題目并沒(méi)有指明所給函數(shù)為什么函數(shù)，所以本題應(yīng)分類討論.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸必有交點(diǎn)，而二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）只有在b2－4ac≥0時(shí)其圖像才會(huì)與x軸有交點(diǎn).

二、與其他函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像

例2（2011年湖南湘潭市）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+1與二次函數(shù)y=x2+a的圖像可能是圖1中的（ ）.

圖1

解析：本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，先根據(jù)一次函數(shù)y=ax+1，排除D，再根據(jù)二次函數(shù)y=x2+a，排除B，當(dāng)a＞0時(shí)，A、C均不可能，當(dāng)a＜0時(shí)，A不可能，只有C可能.所以答案為C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，可以用排異法，在同一坐標(biāo)系中確定兩個(gè)函數(shù)的圖像必須確定一個(gè)，再判斷另一個(gè).

三、由所給信息，判斷函數(shù)值的大小

例3 （2011年山東濟(jì)寧市）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，其函數(shù)y與自變量x之間的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：

x… 01234…y… 41014…

點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)的圖像上，則當(dāng)1

A.y1>y2B.y1

解析：本題我們可以用兩種方法來(lái)解決.

解法一：由表格中的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，因此可知c=4.當(dāng)x=1時(shí)，y=1，可得a+b+4=1.當(dāng)x=3時(shí)，y=1，可得9a+3b+4=1.解方程組，因此二次函數(shù)關(guān)系式是y=x2－4x+4，所以對(duì)稱軸為x=2，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)1

解法二：由表格中的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)x=1時(shí)，y=1.當(dāng)x=3時(shí)，y=1，可知拋物線的對(duì)稱軸是x=2.當(dāng)x=2時(shí)，y=0，可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）.當(dāng)x=0時(shí)，y=4，可知c=4，可判斷拋物線的開(kāi)口向上.因此當(dāng)1

點(diǎn)評(píng)：待定系數(shù)法是求二次函數(shù)的基本方法，當(dāng)數(shù)據(jù)是通過(guò)表格給出時(shí)，將表格中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)解析式，求二次函數(shù)解析式是通用方法；若表格中給出的數(shù)據(jù)具有特殊性，如拋物線上兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即拋物線上兩個(gè)點(diǎn)滿足（x1，m），（x2，m），則拋物線的對(duì)稱軸為當(dāng)拋物線開(kāi)口方向向上，拋物線上的點(diǎn)距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大.

四、探究型問(wèn)題

圖2

例4 （2011年湖南湘潭市）如圖2，直線y=3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c.

因?yàn)橹本€y=3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）、B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）.

又因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，

所以拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3.

（2）因?yàn)閥=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以該拋物線的對(duì)稱軸為x=1.

點(diǎn)評(píng)：本題是考查一次函數(shù)和二次函數(shù)，由函數(shù)及滿足函數(shù)圖像的點(diǎn)，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法，求出拋物線的解析式；再根據(jù)尋找等腰三角形的方法，或是根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，分類討論求解問(wèn)題.

由此可見(jiàn)，二次函數(shù)是初等函數(shù)中的重要函數(shù)，主要考查表達(dá)式、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、最大（小）值、用二次函數(shù)模型解決生活實(shí)際問(wèn)題，在解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.利用二次函數(shù)解決生活實(shí)際問(wèn)題以及二次函數(shù)與幾何知識(shí)結(jié)合的綜合題，以解答題形式出現(xiàn)：一類是二次圖像及性質(zhì)的純數(shù)學(xué)問(wèn)題；另一類是利用二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合其他知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的題目，同時(shí)學(xué)習(xí)二次函數(shù)，對(duì)于學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等重要數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，拓寬學(xué)生解題思路、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力方面具有十分重要意義.