對一道高中數(shù)學聯(lián)賽題的探究——二次曲線切點弦的一個性質

☉江蘇省昆山中學 戈 峰

對一道高中數(shù)學聯(lián)賽題的探究
——二次曲線切點弦的一個性質

☉江蘇省昆山中學 戈 峰

筆者在研究2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽第15題時，得到關于二次曲線切點弦的一個性質，現(xiàn)把探究過程整理如下.

一、問題的分析

問題：拋物線y=x2與過點P（－1，－1）的直線l交于P1，P2兩點.

（1）求直線l的斜率k的取值范圍.

二、問題的解法探究

問題已經解決，但是思維的火花并未結束，問題在于點Q所在的直線2x+y－1=0是否與點P與拋物線有著特殊的位置關系呢？探究如下.

圖1

三、問題的幾何背景

然而愛因斯坦曾說過：“我們沒有什么特別的才能，不過喜歡尋根問底地追究問題罷了.”所以我不禁要問自己，這個結果難道只是一個巧合或特列，對其他圓錐曲線或更一般的二次曲線是否相似結論呢？

四、問題的推廣探究

此方程為關于x，y的二元一次方程，所以代表的圖形應該為直線，設此直線為l′，即點Q在直線l′上.

另外，過曲線Γ外一點P（a，b）的切點弦所在直線方程為：

波利亞說過：“注意對特殊情況的觀察，能夠導致一般性的數(shù)學結果，也可以啟發(fā)出一般性的證明.”本文對一道直線與拋物線的問題進行解法探究、幾何背景探究、結論推廣探究，利用直線參數(shù)方程的方法可把此題推廣到一般性的二次曲線的切點弦具有的一個優(yōu)美的性質.