直線和圓錐曲線綜合題的四個突破口

☉江蘇省寶應縣安宜高級中學 程守權

直線和圓錐曲線綜合題的四個突破口

☉江蘇省寶應縣安宜高級中學 程守權

直線和圓錐曲線的綜合問題是以直線與圓錐曲線為載體，以函數、不等式知識為工具，融幾何、代數、三角于一體，具有較強綜合性的一類題目，多年來一直是高考命題的熱點.然而筆者在教學中發現，許多同學做這類題時，常因找不到問題的突破口而苦惱不已.下面給出解決這類問題的四個突破口，供參考.

一、找定點、定值為突破口

評注：求解直線和圓錐曲線的最值問題時，首先要弄清題意，理順各變量之間的關系，分清“變”中的“不變”.當問題中有定點、定值時，應盡量先求出來，然后充分利用定點、定值的性質解題.

二、構造目標函數為突破口

圖1

（1）求橢圓C的方程.

評注：解決此類問題的方法是根據已知條件和信息，結合相關知識，建立目標函數或不等式，然后求出所求范圍.

三、巧選變量為突破口

例3 設以原點為圓心，r為半徑的圓與拋物線y2=x－1相交于P、Q兩點，設θ=∠POQ（0＜θ＜π），當r為何值時，θ最大？

解：設拋物線y2=x－1與圓在第一象限的交點為P（x0，y0）.

因P在拋物線y2=x－1上，則點P的坐標為（y20+1，y0）（y0＞0）.

圖2

評注：本題求解的關鍵是選定變量，搞清“動”與“靜”的關系，在“變化”中求“不變”（最值）.

四、利用幾何性質為突破口

例4 設P是直線l：x－y+9=0上的一點，過點P的橢圓以雙曲線4x2－5y2=20的焦點為焦點，試求P點在什么位置時，所求橢圓的長軸長最短，并寫出這個具有最短長軸的橢圓方程.

分析：題中要求的是長軸長最短的橢圓，且橢圓必須過直線x－y+9=0上的一點P，聯想到橢圓定義，橢圓上任意一點到兩焦點的距離和為定長2a，問題轉化為在直線l上求一點P，使它到l外兩定點F1、F2的距離和最短.這個問題在平面幾何中用對稱的辦法就可解決.

圖3

評注：充分利用圓錐曲線的定義和平面幾何性質，使最值問題的求解簡捷明快.一般來說，可借助平面幾何中的對稱關系、三角形三邊關系、兩點之間線段最短等來處理.

總之，求解直線和圓錐曲線的最值問題的方法雖很多，但不管使用哪種方法，其前提都是首先要弄清題意，通過數形結合，找到題目的突破口.