轉子磁鏈誤差對感應電機觀測器穩定性影響

許思猛， 陳沖

(1．福州大學電氣工程與自動化學院，福建福州 350108;2．福建工程學院電子信息與電氣工程系，福建福州 350108)

0 引言

自感應電動機無速度傳感器控制技術出現以來，已取得了顯著的進展，其中以全階轉速自適應轉子磁鏈觀測器［1－2］最受關注，至今仍是研究的熱點。Kubota在文獻［1］通過Lyapunov函數推導轉速自適應律，G．Yang在文獻［2］從Popov超穩定理論推導得到轉速自適應律。由于直接測量轉子磁鏈困難，在轉速自適應機構中文獻［1］將轉子磁鏈誤差忽略，文獻［2］用勵磁電感乘以定子電流誤差代替。

該觀測器在電機低速再生發電工況運行時可能不穩定［3－4］，為解決此問題文獻［5 －7］提出了調節反饋增益的方法，文獻［5］在旋轉坐標系中將觀測器在穩定點鄰域線性化，應用Routh-Hurwitz穩定判據確定反饋增益。文獻［6］通過反饋增益改變特征矩陣特征根分布完全消除不穩定區域。文獻［7］則從滿足前向通道傳遞函數嚴格正實條件來設計反饋增益。

文獻［8－12］修正轉速自適應律以解決上述穩定性問題。文獻［8］改變定子電流誤差矢量方向，文獻［9］在自適應誤差項中增加一補償項以補償忽略的轉子磁鏈誤差，文獻［10］將定子電流誤差矢量和轉子磁鏈誤差矢量的內積作為補償項，文獻［11］指出文獻［8，10］在電動工況時可能不穩定，文獻［12］從分析線性化的前向通道反饋矩陣特征值出發，分析了文獻［8，10，11］提出的轉速自適應律結論，指出文獻［9］方法與文獻［8，10］是一致的。

可以認為改變轉速自適應律實際上是在經典觀測器的轉速自適應律中加入一補償項，該補償項是用于替代無法直接獲得的轉子磁鏈誤差，因此在進行補償之前有必要對轉子磁鏈誤差的作用進行分析。有文獻［8］認為觀測器不穩定的根本原因是忽略了轉子磁鏈誤差，但并沒有進行嚴格推導。

改變轉速自適應律的目的是在觀測器開環條件下也能保證穩定，因此在提高觀測器魯棒性設計方面比調節反饋增益方法更靈活［12－13］。觀測器對模型參數非常敏感［14］，模型參數的變化不僅影響觀測器的性能，甚至會導致不穩定，如果穩定性能夠由自適應律來滿足，則可將反饋增益主要用于魯棒性能設計。

本文從等效誤差方程推導轉子磁鏈誤差模型，從前向通道傳遞函數正實性［15］和等效轉速控制系統的開環零點分布兩個方面，分析轉子磁鏈誤差對觀測器穩定性的影響。為避免在轉子磁鏈誤差模型中含純積分器，給出一個近似的轉子磁鏈誤差模型，分析采用該轉速自適應律時觀測器的穩定性，最后利用MATLAB對觀測器進行仿真。

1 全階自適應轉子磁鏈觀測器

在靜止dq坐標系下，經典的感應電動機狀態觀測器由可直接測量的定子電流觀測誤差來構成校正項，為［1－2］

定義廣義狀態誤差為

得到等效的動態誤差方程為

根據Popov超穩定理論，推得轉速自適應律［2］為

其中kP、kI為自適應機構比例與積分系數。根據轉子磁鏈電壓矢量方程

得到轉子磁鏈誤差矢量表達式為

由此得到包含完整轉子磁鏈誤差信息的全階轉速自適應轉子磁鏈觀測器，如圖1所示。

圖1 全階自適應觀測器的等效誤差系統原理圖Fig．1 Schematic diagram of the equivalent error system of the full-order adaptive observer

2 轉子磁鏈誤差對觀測器穩定性影響

根據式(8)將圖(1)簡化后得到圖2。

圖2 簡化的等效誤差系統原理圖Fig．2 Schematic diagram of the symplified equivalent error system

圖2表明增加轉子磁鏈誤差后只改變等效誤差系統前向通道傳遞函數，對反饋通道并無影響，根據Popov超穩定理論，此時觀測器穩定性取決于前向通道傳遞函數矩陣G(s)的嚴格正實性，即

式中(*)表示共軛轉置。根據(9)式得到觀測器在ω1－ωs平面中的穩定區域邊界線的方程為

式中:ωs為轉差速度;ω1為同步速。加入eψ后觀測器穩定區域分布如圖3(a)所示。為了便于讀圖，圖中橫坐標單位用頻率Hz，縱坐標單位用速度r/min。由于原點附近的穩定區域很小，圖中用直線近似l1和l2。當k'p=k'I=0時，相當于忽略了eψ。可以看出在加入eψ之后，穩定區域擴大量Δωs非常小，如圖3(b)所示。在低速時，擴大穩定區域主要依賴于式(6)中的對ei的積分項，由于k'I中含參數ε2，降低了1/ω1對擴大穩定區域的作用。如果放大轉子磁鏈誤差1/ε2倍，則能顯著擴大穩定區域，如圖3(c)所示。圖中分析所采用電機參數為:PN=2.2 kW，UN=220 V，fN=60 Hz，nN=1725 r/min，Rs=0.435 Ω，Rr=0.816，Lm=69.31 mH，Ls=Lr=71.31 mH。

圖3 觀測器在ω1－ωs平面上穩定區域分布Fig．3 Observer stable region distribution in ω1－ωsplane

轉速自適應觀測器中的轉速估計系統可以看作是一個轉速閉環控制系統，將系統變換到同步坐標系后在穩定點(ω10，ωr0，ψr0)進行微偏線性化，得到如圖4所示的動態系統框圖。

圖4 線性化后的等效轉速閉環控制系統框圖Fig．4 Linearized equivalent close loop speed control system

實際轉速為給定轉速，估計轉速為輸出，傳遞函數G'ω(s)特性由電機本身決定，表達式如式(12)。它的輸入除了轉速偏差外，還有定子電壓和頻率信號(圖中未標出)，輸出eω作為轉速自適應機構的輸入。

由控制理論得知，圖4中的轉速閉環控制系統穩定時，其閉環極點必須全部位于s平面的左邊。由于轉速自適應機構在原點有一個開環極點，為避免在右半平面出現閉環極點，G'ω(s)所有的開環零、極點必須全部位于s平面的左半平面。G'ω(s)的零點由式(13)確定:

根據 Routh-Hurwitz穩定判據，G'ω(s)所有的零全部位于s左半平面的條件為

則可以在ω1－ωs平面上確定出等效閉環轉速控制系統的穩定區域如圖5，圖中黑色區域表示系統不穩定，白色表示系統穩定。

圖5表明雖然在轉速自適應律中包含了轉子磁鏈誤差，但在低速再生發電工況時，觀測器不能穩定。當擴大轉子磁鏈誤差，則能夠將穩定區域擴大到整個ω1－ωs平面。

圖5 轉速估計系統不穩定區域分布Fig．5 Unstable region of close loop speed control system

應用正性系統理論與經典控制理論分析均表明:當觀測器開環時，為了使全階轉速自適應轉子磁鏈觀測器穩定，需放大轉子磁鏈誤差。在第3節推導新型轉速自適應律時將用到這一結論。

3 新型轉速自適應律

由于在式(6)中含純積分器，直接應用該式求轉子磁鏈誤差實際中難以實現，本文給出轉子磁鏈誤差的近似表達式為

應用已得到的結論，將eψ放大1/ε2倍后代入式(4)，得到的轉速自適應誤差為

式(16)與文獻［9］給出的轉速自適應律類似，文獻［9］的穩定區域分布如圖7，觀測器只在高定子頻率電動工況時不穩定，因此可以選擇:

式中ωth為兩個轉速自適應律切換閥值，從圖6和圖7中可看出，ωth的取值范圍很大，采用式(17)的轉速自適應律在電動工況時無需令k=0，因此為在整個ω1－ωs平面中進行觀測器設計增加了一個自由度。

圖6 新型轉速估計系統不穩定區域分布Fig．6 Unstable region of novel close loop speed control system

圖7 其它轉速估計系統不穩定區域分布Fig．7 Unstable region of other close loop speed control system

4 仿真及結果分析

由于實際驗證轉子磁鏈誤差對觀測器穩定性影響困難，此時應用仿真是合適的手段。系統平臺采用Matlab中的矢量控制系統AC3，轉速自適應機構參數kP=0.01，kI=20 000。

圖8為未忽略轉子磁鏈誤差時觀測器仿真波形，圖8(a)為負載轉矩TL波形，負載轉矩在0～0.5 s期間為11 N·m，然后突變為－6 N·m，電機由電動進入再生發電工況。圖8(b)中給定轉速為100 r/min，觀測器輸出轉速^ωr在電機進入再生發電工況后偏離實際轉速，說明觀測器此時不能穩定運行。

圖9本文提出的新型轉速自適應律觀測器轉速輸出仿真波形，圖9(a)與圖8(a)相同。圖9(b)中給定轉速在1 s處由100 r/min變化到－100 r/min，運行至1.5 s再變化到100 r/min，電機工況由正向電動運行，變化到正向再生發電運行，再進入反向電動運行，最后回到正向再生發電運行，仿真結果說明觀測器此時能夠穩定運行。

圖8 未忽略轉子磁鏈誤差觀測器仿真波形Fig．8 Simulation waveform of the observer without neglecting the rotor flux error

圖9 新型轉速自適應律觀測器仿真波形Fig．9 Simulation waveform of the observer with novel speed adaptation law

5 結論

將轉速自適應律中的轉子磁鏈誤差項放大，能夠滿足全階轉速自適應轉子磁鏈觀測器等效誤差系統前向通道傳遞函數是嚴格正實的。基于轉子磁鏈誤差近似模型的改進轉速自適應律能夠保證低速再生發電工況時觀測器是穩定的，但在電動工況時存在不穩定區域，組合應用不同的轉速自適應律能夠為觀測器設計增加一個自由度。本文針對不同轉速自適應律給出的穩定區域分布是在觀測器反饋增益矩陣為零條件下得到的，后續工作將對反饋增益矩陣對穩定區域分布區域分布影響進行研究。

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