職高學生一元二次不等式解題錯誤類型分析及教學活動設計原則

摘 要：籍由分析職高學生解一元二次不等式的主要錯誤類型，提出針對性的教學活動設計原則來提高教學成效和學生一元二次不等式解題的正確率。

關鍵詞：職高 一元二次不等式 錯誤類型 教學設計

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2012）11（c）-0063-01

1 解一元二次不等式的主要錯誤類型

（1）任意開方。相當多的學生解一元二次不等式時未考慮不等式兩邊的正負，而任意將不等式兩邊開方，絲毫沒有考慮其是否合乎不等式的運算邏輯。這樣的錯誤來自于學生的直覺反應，認為只要，a必大于b或，a必小于b，因而產生錯誤。

此外，很多學生在學習一元二次不等式時，常有的感覺就是解一元二次不等式如同解一元二次方程一般，差別只是將解方程式的等號換成不等式的不等號而已。在理解完全平方型的一元二次不等式時受到解方程式的干擾，很直覺的把解一元二次不等式當成解一元二次方程式，因而造成任意開方的錯誤類型。

（2）變號處理錯誤。在不等式的乘除運算中，做不等式除以或者乘以負數的運算時，忽略了不等式的符號必須變號。在與學生的訪談中得知錯誤的原因來自于學生對不等式的運算不熟悉，甚至將先前的知識對一元二次不等式做錯誤的類推，認為解不等式和解方程式一樣，只是改號罷了因而造成變號處理錯誤類型。

（3）任意平方。在處理含有根號的不等式時，往往受到既有的要除去根號必須平方的觀念影響。在解不等式時碰到某一項有根號時，常任意平方而不管這樣的運算是否合乎邏輯，在運算中濫用。這也是因為學生對不等式的運算邏輯不清楚，且將先前的平方觀念對不等式做錯誤的類推。

（4）產生虛數比大小的謬誤。典型案例如解不等式的解題中，有不少學生答案為。分析其解題過程，發現學生在解此一元二次不等式時，把它當成方程式來操作，先解得兩根為或，然后得解為。從而明確可以看出犯了虛數比大小的謬誤，這種錯誤的產生主要受老師教口訣、不當記憶公式的影響。細究原因下，許多老師為了幫助學生記憶或者增快解題速度往往編制口訣：解一元二次不等式時先解一元二次方程式，得兩根后，小于0的不等式其解在兩根之間，大于0的不等式其解在兩根外。但是學生只記得公式或者口訣，至于如何使用或在什么情況下可以用，什么情況下不能用，造成解題錯誤。

（5）將二次項系數恒當成正數。犯這類錯誤的學生往往沒有注意到不等式二次項系數為負數，這起因于學生死記硬背一元二次不等式的解題公式。這類錯誤雖與上述的虛數比大小的謬誤不同，但是深究其原因皆是受到老師教學口訣、不當記憶公式的影響。學生解題時憑借公式或者口訣作答產生了令老師始料未及的錯誤。

（6）過度使用無解的概念。受到一元二次方程式建立的概念：時，一元二次方程式無解。在解一元二不等式時當成一元二次方程式來處理，也造成將一元二次方程式無解的情況錯誤類推至解一元二次不等式。

（7）不會由二次函數的圖像直接看出一元二次不等式的解。在給定二次函數圖像去找出一元二次不等式解的情況下，有些學生不知道如何下手或者以代數運算試圖由二次函數圖像與X軸交點求解出二次函數的系數，然后再求出不等式的解。這樣計算過程復雜且容易出錯。當二次函數的圖像與X軸只有一個交點或者無焦點的情況下二次函數的系數無法或者不容易求解出導致無法解題。犯錯的主要原因在于學生無法由二次函數圖像看出一元二次不等式的解，無法將變量X和一元二次不等式值對應成函數關系，無法將一元二次不等式和二次函數的圖像做正確的連接。

（8）不知道恒為正或負的充要條件。不知道用二次函數的圖像來判斷二次項恒為正數或者負數的充要條件，無法將一元二次不等式和二次函數圖像做正確的聯系，而只是憑記憶公式來解題。

2 針對性的教學活動設計原則

2.1 強化學生對不等式的運算邏輯，降低直觀法則的影響

學生在一元二次不等式的許多解題錯誤是因為對不等式的運算邏輯概念不清所產生的。因此，教學的重點在于不等式運算法則的教學，透過具體數字的不等關系做四則運算，引導出不等式四則運算法則，讓學生理清不等式四則運算的邏輯。然后以此為基礎做一次不等式的求解教學，藉此更正變號處理錯誤的問題。并且在不等式平方運算的教學上，多舉一但是a不一定大于b的例子，幫助學生克服直覺法則的影響，以更正任意開方的錯誤，并降低任意平方的錯誤。

2.2 為避免錯誤類推及不當公式記憶，揚棄其他解法，以圖解法為主要解題策略

學生在一元二次不等式的錯誤有許多是來自于將先前學習的知識做錯誤的類推，例如將解一元二次不等式當成解一元二次方程式造成任意開方的錯誤，將一元二次方程式無解的概念類推至解一元二次不等式而形成過度使用無解的概念的錯誤。如果學生如能以圖解法來求解一元二次不等式，將能有效規避先前學過的知識的干擾，降低解題錯誤。

2.3 建議并強化學生對一元二次不等式和二次函數的圖像做正確的連接

學生要能以函數圖解法解一元二次不等式，必須能了解二次函數并繪出其簡圖，并能將一元二次不等式和二次函數圖像做正確的連接。欲達成此目標可以從以下三個方面著手：

（1）加強學生對二次函數圖像及其性質的了解。利用電腦動態演示的功能教授二次函數的圖像，讓學生了解二次函數的圖像為一拋物線。其次就是使學生有能力找出二次函數圖像與x軸的交點，進而要知道什么條件下二次函數圖像與X軸沒有交點，如此才能判斷二次項恒為正或負的充要條件。

（2）加強學生對二次函數圖像的判讀能力。學生無法從二次函數的圖像找出所對應的一元二次不等式的解常常是因為他們不清楚二次函數圖像上的坐標點所代表的意義。因此，除了教授二次函數的繪圖外，更要強調二次函數圖像上坐標點所代表的意義，方能教導學生從二次函數圖像上找出所對應的一元二次不等式的解。

（3）強調一元二次不等式變量X和一元二次不等式值的函數對應關系。學生不懂一元二次不等式的值和其變量X是函數對應關系，因此，就無法用二次函數的圖像來找出一元二次不等式的解。因此，教學的另一個重點是著重一元二次不等式變量X和一元二次不等式值的函數對應關系，讓學生熟悉一元二次不等式的值是變量X的二次函數，進而透過圖解法來處理一元二次不等式。