“幾類不同增長的函數模型”教學案例分析

摘 要：新人教教材編寫時很注重體現知識的呈現、發展過程，讓學生能夠在教師指導下利用教材進行探究性的學習，培養學生的創新精神和探索能力。在近一年的探究式教學開展過程中有很多的體會，以“幾類不同增長的函數模型”為例，對探究性教學實施做了一些總結、反思，為以后的教學提供了方向。

關鍵詞：幾類不同增長的函數模型；教學案例；探究性教學

今年，我們教研組承擔了省教育學院的科研課題《數學課堂教學中學生探究能力的培養》，我在任教的高一七、八班做了對比教學，在七班進行傳統的“講授式”教學，在八班進行“探究式”教學。我校學生的入學成績相當于普通高中三類校水平，在此基礎上又把高分考生編成一個宏志班，高一七、八班是普通平行班，學生的學習基礎、態度、能力等方面差異不明顯，均在同類學生中處于中下水平。

“幾類不同增長的函數模型”是人教A版必修一的3.2.1節，是在已經學習了函數的基本性質和基本初等函數的基礎上，用數學建模體會函數與現實世界的密切聯系及其在刻畫現實問題中的作用，通過恰當地運用函數的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），理解幾類基本初等函數的增長差異性，是一節較難的函數應用課。由于學生的基礎及課時限制，設計時對教材內容進行了重組，本課教學內容為例1的投資方案選擇問題和比較幾類基本初等函數的增長差異性，兩個班的教學內容、要求都一樣，但教法不同。本文重點介紹在八班所進行的“探究式”教學，著重闡述如何在課堂教學中培養學生的探究能力。

【教學過程與操作設計】

創設情境：PPT展示材料：澳大利亞兔子數“爆炸”。

提出問題：為什么在短短幾十年，兔子數會增長得如此迅猛，如何用相關知識來說明呢？在學習了本課之后這個問題就迎刃而解了。

設計意圖：創設問題情境，以有趣的問題引入激起學生的熱情，使課堂中的有效思維增強。

案例1：假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。

請問，你會選擇哪種投資方案？

問題探究：

（1）在本例中每種方案涉及哪些數量關系？如何用函數來描述這些數量關系？

（2）建立函數模型以后，應該選擇哪種方案呢？從哪個角度進行分析？

（3）列表，根據表中的數據，你對三種方案表現出的回報資金的增長差異有什么認識？

（4）描點、連線，利用圖象描述一下三種方案的發展趨勢，體會不同函數的增長特點。

（5）根據以上分析，你認為該如何做出選擇？

（6）你能根據本例體會函數思想的實際應用嗎？體會不同函數的增長差異嗎？

設計意圖：引導學生分析數量關系，并確定合適的函數模型。但從函數解析式要知道收益的差異并不容易，因此要用函數的另兩種表示方法（表格法、圖象法）來直觀分析，從表格初步體會“直線增長”“指數爆炸”，再利用函數圖象分析、體會不同函數的增長差異。最后，引導學生考慮一段時間內的總收益進而做出正確的選擇。

總結與反思：本例是數學建模問題，初步體會幾類函數的增長差異。作為“探究式”教學，最理想的設計是讓學生自主分析，建立模型，從合適的角度分析。但由于學生能力有限，我設計成“精心設置問題，通過問題引導學生分析”。課后了解到學生的接受情況不錯，更有程度較好的學生提出困惑：既然最后需要考慮的是累計回報，分析累計回報函數模型不是更直接嗎？這是一個驚喜，提醒我設計時要充分了解學情，當然本例的設計初衷是為了避開累計回報函數模型所要用到的等差、等比數列的求和問題（必修五才學習）。

事實上，探究性教學主要就是圍繞問題的提出和解決來組織學生的活動，這個過程本身就是教學、學習的過程。因此，提出問題時應創設合理的情境，利用實際背景、演示實驗、制作模型、圖表等，使學生產生強烈的探究愿望，主動參與探究過程，更重要的是應該結合學生的最近發展區與思維特點，合理地設置問題，不能脫離實際，讓學生無從下手，甚至打擊學生的自信心。

求知欲是學生主動學習的內在動力，求知欲越高，主動探索精神越強，就越能主動思考。教師在教學中可通過激趣、設疑、懸念、討論等多種途徑，活躍課堂氣氛，調動學生的學習熱情和求知欲望。對于學習基礎不是很好的學生，教師應指導學生根據學習的內容，鼓勵學生學在教前，采用自問自答的方式對知識進行嘗試性預習。同時，培養學生主動搜集分析有關的信息資料，驗證問題的各種假設情境，把當前學習內容盡量與自己已有的知識、經驗聯系起來，并對這種聯系加以思考，然后在探索過程中去發現、建構知識體系。

因此，數學探究性課堂教學過程不但應加強對教學目標、教學過程的調控，而且要對學生進行積極的情感牽引。和諧的情感交流，適宜的教學節奏，使人感到有一種自由、安全的心理氛圍，教師在課堂上不宜對學生的觀點、看法橫加指責，即使是指出學生的不足，也要讓學生感到友好、誠懇，使人樂于接受、心悅誠服。只有這樣，才能讓學生在學習的過程中有情感的投入，有內在動力的支持，進而得到積極的情感體驗。

案例2：冪函數y=xn（n>0）、指數函數y=ax（a>1）、對數函數y=logax（a>1）在區間（0，+∞）上的單調性如何？增長有差異嗎？

問題探究：

（1）你能在同一平面直角坐標系內做出函數y=2x，y=x2和y=log2x在（0，+∞）內的圖象嗎？

（2）在區間（0，+∞）上，你能發現y=2x與y=x2的圖象的交點嗎？找出不等式log2x<2x

（3）在更大范圍研究y=2x與y=x2的圖象，它們的增長情況有什么差異呢？

（4）類似地在大范圍內你能研究出y=x2與y=log2x的圖象的增長情況嗎？

（5）類似地你能研究出y=3x，y=x3與y=log3x和y=1.5x，y=x3與y=log5x的增長情況嗎？

（6）你能根據上述研究，得到y=ax（a>1）、y=xn（n<0）、y=logax（a>1）的增長差異嗎？

（7）你能用同樣方法討論y=ax（0

設計意圖：為比較y=xn（n>0）、y=ax（a>1）、y=logax（a>1）在區間（0，+∞）上的增長差異，先從具體的y=2x，y=x2和y=log2x比較入手。利用圖象觀察交點、大小關系，然后在大范圍內總結出y=2x與y=x2和y=x2與y=log2x的增長差異，進而判斷出y=2x，y=x2與y=log2x的增長差異，再改變系數a，n，推廣得到一般性的結論，對y=xn（n>0）、y=ax（a>1）、y=logax（a>1）的增長差異做出比較。最后做橫向的比較，對衰減情況有較全面的認知。

總結與反思：案例充分體現了信息技術在探究過程中的作用，尤其是在較大范圍內研究圖象的性質，利用幾何畫板只要改變單位長度就行實現，非常直觀。如果能做到學生人手一臺電腦，通過動手實踐，自己操作、感知、歸納出結論，效果會更好，學生也會記得更牢。但是由于硬件條件、學生學習能力有限，因此最終采用的還是教師帶著學生一起操作，一步步地在計算機上示范預先設計內容，學生只是“看”實驗而不是“做”實驗，建議在有條件的學校、班級分小組探究，利用幾何畫板、超級畫板等創設動態的數學實驗室，讓學生自己通動鍵盤、鼠標操作，改變不同參數及單位長度，探究出結論，教師再做糾正、點評、提升。

充分利用信息技術，比如，超級畫板、幾何畫板等來設計探索情境，創造開放性學習環境，將學生置身于動態、開放、生動的學習環境中，滿足了不同學生的需要，體現了個性化的學習，目的是使每一位學生都能得到成功的體驗，有效地促進不同層次學生的發展。這樣的教學更具問題性、實踐性和開放性，有利于學生的自主學習和自主探索，培養他們的數學素養和創新精神，培養學生總結歸納的能力，同時讓學生體會到主動探究的重要性與趣味性。

在建構主義理論的指導下，要讓學生親身經歷知識的形成、鞏固與應用的過程以及知識與方法、技能的類化過程，絕不能用教師的分析講解去代替學生親自經歷這些過程。探究式教學改變了傳統講授式“教師講，學生聽”的模式，讓學生在教師引導下，自己去讀書、去探索、去解決問題，學生在嘗試中得到了鍛煉，逐步學會學習，培養了學生自學能力，突出了學生的主體地位。在這種環境下學生的思維狀態是積極的、活躍的，真正地提升課堂教學效果。探究性教學的核心目標是培養學生的創新精神與實踐能力，學生通過自主探索、研究，產生從未有過的想法、見解、方法，這要求教師要善于發現學生探究過程中的各種突發奇想，力求挖掘學生思維中的閃光點。

人教A版教材中幾乎在每一章節都設有很多的探究性問題，章節末尾都安排了閱讀材料或實習作業等。這些都是開展探究性學習的很好內容，教材是學習活動的主要載體，選題最直接的途徑是教材，“就地取材”對教師來說較方便。由此，充分利用教材提供的素材，以問題為中心組織教學內容，精心設計探索性的教學過程是進行探究性學習的關鍵。

經過近一年的摸索、總結，我已初步形成了探究性教學的模式。通過半學期的對比教學，高一七、八班近兩次的成績比較如下：

從上表不難看出，就算時間不長，也已經表明探究式教學的優勢了。

《普通高中數學課程標準》中強調：數學教學要體現課程改革的基本理念，在教學設計中充分體現數學的學科特點，高中學生的心理特點，不同水平、不同興趣的學生的學習需要，運用多種教法和手段，引導學生積極主動地學習，發展應用意識和創新意識，提高數學素養，形成積極的情感態度。所以，數學課堂教學應從學生的生活經驗和知識背景出發，向他們提供充分的從事數學活動和交流的機會，讓學生在自己熟悉的生活中去尋找數學、發現數學，體會到數學的內在價值，這樣才能提高學生探究數學的熱情，使他們主動地參與課堂教學活動，從而達到認識數學、掌握數學和應用數學，這就是探究性教學的精髓。

參考文獻：

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（作者單位 福建省福州文博中學）