例談區間二次函數的值域求法

摘 要：在對二次函數值域的實際考查或應用中，更多的是以區間二次函數的面目出現，而所謂的區間二次函數就是其函數表達式是某個二次函數，但其定義域不再是一般二次函數的定義域R，而只是其一個子區間，其根據定義域區間的類型可分為“單界型”和“雙界型”，前者通法有“單調性法”“對稱距法”“比較大小法”，而后者只能用“單調性法”。但不管是哪一個類型問題，還是哪一種解決方法，都必須從求對稱軸以及判斷對稱軸與定義區間的關系入手，從而對問題的求解做出更精準的處理.

關鍵詞：二次函數；區間二次函數；值域；值域求法

所謂的區間二次函數就是其函數表達式是某個二次函數，但其定義域不再是一般二次函數定義域R，而只是其一個子區間，其根據定義域區間的類型可分為“單界型”和“雙界型”.

一、雙界型區間二次函數及值域求法

1.概念

定義域區間既有上界又有下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數，a≠0）的函數，稱為雙界型區間二次函數.

2.值域的求法

例1.求函數y=x2-4x+1，x∈[0，5]的值域.

解法1.∵對稱軸為x=-■=2∈[0，5]，且有當x=2時，y=-3；當x=0時，y=1；當x=5時，y=6；

∴ymin=-3，ymax=6.

∴原函數的值域為[-3，6].

點評：當對稱軸在定義區間上時，函數有三個關鍵點，即頂點和兩個區間端點，這三個關鍵點的函數值中最大者一定是函數的最大值，最小者一定是函數的最小值，因此，可以利用已知函數的解析式直接求出三個關鍵點的函數值，然后比較大小，求出兩個極值（最大值和最小值），進而確定值域，此種方法可稱為比較大小法，是求雙界型區間二次函數值域的有效通法。

解法2.∵對稱軸為x=-■=2∈[0，5]，

∴原函數在[0，5]上的值域和在[2，5]上的值域是相同的.

又∵a=1>0，

∴y在[2，5]上為單調遞增函數.

∴當x=2時，ymin=-3；當x=5時，ymax=6.

∴原函數的值域為[-3，6].

點評：一般來說，若二次函數的對稱軸x0∈[a，b]，此時函數在定義區間不是單調函數，但其值域等價于在單調區間[x0，c]（其中c為a、b中的較大者）上的值域，于是可利用函數的單調性來求解問題，這種辦法不妨稱之為“單調性法”，也是求雙界型區間二次函數值域的一種有效方法.

解法3：∵對稱軸為x=-■=2，

∴5-2>2-0>2-2.

∴當x=2時，ymin=-3；當x=5時，ymax=6.

∴原函數的值域為[-3，6].

點評：一般的，對于二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）而言，有當a>0時，離對稱軸越遠函數值越大；當a<0時，離對稱軸越遠函數值越小，利用此規律也可以求雙界型區間二次函數的值域，不妨稱之為“對稱距法”.

例2.求函數y=-t2+4t+2的值域，其中t∈[-1，1].

解法1.∵對稱軸t=-■=2■[-1，1]，且a=-1<0，

∴y在[-1，1]上單調遞增.

∴當t=-1時，ymin=-3；當t=1時，ymax=5.

∴原函數的值域為[-3，5].

點評：這里用了“單調性法”，但是直接使用而不需要先等價轉化.

解法2.∵對稱軸t=-■=2■[-1，1]，且當t=-1時，y=-3；當t=1時，y=5.

∴ymin=-3，ymax=5.

∴原函數的值域為[-3，5].

點評：這里用了“比較大小法”，但無需頂點參與.

解法3.∵對稱軸t=-■=2■[-1，1]，且-1-2>1-2，

∴當t=-1時，ymin=-3；當t=1時，ymax=5.

∴原函數的值域為[-3，5].

點評：這里用了“對稱距法”，但無需頂點參與.

小結：

（1）雙界型區間二次函數的值域問題可分為兩種類型：一種是對稱軸屬于定義區間，另一種是對稱軸不屬于定義區間.

（2）雙界型區間二次函數值域的求解有三種通法，分別是“單調性法”“對稱距法”“比較大小法”.但不管哪一種方法都是從求對稱軸和判斷對稱軸與定義區間的關系入手，以便確定頂點是否參與比較.

（3）雙界型區間二次函數的值域也一定是雙界型區間.

二、單界型區間二次函數及值域求法

1.概念

定義域區間只有上界或下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數，a≠0）的函數，稱為單界型區間二次函數.

2.值域的求法

例3.求函數y=x2-2x-3，x∈（-∞，-1]的值域.

解：∵對稱軸x=-■=1■（-∞，-1]，且a=1>0，

∴y在（-∞，-1]上為單調遞減函數.

∴y≥（-1）2-2·（-1）-3=0.

∴函數值域為[0，+∞）.

點評：一般來說，若二次函數對稱軸x0■[a，+∞）（或（-∞，a]）時，此時函數在定義區間是單調函數，于是可直接用“單調性法”來求解問題.

例4.求函數y=3+2x-x2，x∈（-∞，3]的值域.

解：∵對稱軸=-■=1∈（-1，3]，

∴原函數在（-∞，3]上的值域和在（-∞，1]上的值域是相同的.

∵a=-1<0，

∴y在（-∞，1]上為單調遞增函數.

∴y≤3+2·1-12=4.

∴函數值域為（-∞，4].

點評：一般來說，若二次函數對稱軸x0∈[a，+∞）（或（-∞，a]）時，此時函數在定義區間不是單調函數，但其值域等價于在單調區間[x0，+∞）（或（-∞，x0]）上的值域，于是可用“單調性法”來求解問題.

小結：

（1）單界型區間二次函數值域問題可分為兩種類型：一種是對稱軸屬于定義區間，另一種是對稱軸不屬于定義區間.

（2）單界型區間二次函數值域的求法，只有“單調性法”，同樣必須從求對稱軸和判斷對稱軸與定義區間的關系入手，以便確定是直接使用單調性求解，還是等價轉化后再利用單調性求解.

（3）單界型區間二次函數值域也一定是單界型區間.

（作者單位 陜西省渭南白水中學）