關于傅立葉及其相關變化的學習

摘要：傅立葉及其相關變化使用廣泛，形式多樣，在學習過程中不僅需要一定的數學基礎，還需要方法和技巧以達到事半功倍的效果。探討了學習傅立葉及其相關變化的主要內容和學習的步驟和方法。

關鍵詞：傅立葉變化；拉普拉斯變化；Z變化

傅立葉變化和以它為基礎的多種變化（包括拉普拉斯變化、Z

變化、小波變化等），廣泛應用于信號處理、通信、機械振動、力學、自動化控制、圖形處理等很多領域。這部分內容既是重點又是難

點，難就難在它不僅要求有好的數學基礎，還要求我們從另一個角度來看待和思維自然界的一些現象。我們在教學和學習過程中，要充分利用形象的比喻、類比以及總結來理解和教授，以達到理想的效果。下面從幾個方面對傅立葉及其相關變化進行學習總結。

一、傅立葉變化的主要目的是它實現了函數或信號從時域到

頻域的轉換

這使我們能從頻域的角度來認識和重構原始信號，它將符合狄利克雷條件的函數或信號轉換為無窮多個三角函數的線性組合，無窮多個三角函數的線性疊加組合又能還原為原始的函數或

信號。這樣轉換后，使我們在時域中很難發現的某些信息，在頻率中就容易發現了。這可以看作是我們認識事物的兩個不同角度，時間的角度、頻域的角度。在生活中，我們對待事物，很自然從時間的角度理解和使用，現在需要以理性的思維從頻域的角度來認

識同一事物。它們是研究同一事物的不同方法。

二、傅立葉變化學習的進階過程

三、使用Matlab增強理解和教學效果

Matlab大量應用于數學、工程方面的計算和仿真，使用Matlab來實現傅立葉變化，方便快捷，能給我們直觀的感性認識。

Matlab函數fft、fft2和fftn分別可以實現一維、二維和N維 DFT算法，而函數ifft、ifft2和ifftn則用來計算反DFT。這些函數的調用格式如下：A＝fft（X，N，DIM）。

四、幾種變化的相互關系及其對比

傅立葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如，時域內絕對可積的信號才可能存在傅立葉變換。拉普拉斯變換可以說是推廣了這一概念。在自然界，指數信號exp（-x）是衰減最快的信號之一，對信號乘上指數信號之后，很容易滿足絕對可積的條件。傅立葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數信號為exp（0）。拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上轉換到復頻域（s域）上來表示。z變換則是連續信號經過理想采樣之后的離散信號的laplace變換，離散時間信號傅立葉變換是Z變換的一種特例。

五、傅立葉及其相關變化在多領域中的應用舉例

傅立葉變換廣泛應用在各個學科，這里舉例說明在計算機圖像處理中的應用，主要表現在以下幾個方面：a.圖像增強與圖像去噪：絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻——噪聲。邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強原始圖像的邊緣。b.圖像分割之邊緣檢測，提取圖像高頻分

量。c.圖像特征提取：包括形狀特征用傅立葉描述，紋理特征：直接通過傅立葉系數來計算紋理特征；其他特征：將提取的特征值進行傅立葉變換來使特征平移、伸縮、旋轉。d.圖像壓縮:可以直接通過傅立葉系數來壓縮數據。常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實變換。

傅立葉及其相關變化是幾乎所有工科都要學習的基礎，需要

反復訓練和理會，借助于計算機數學工具能更好地理解和掌握。

（作者單位 四川樂山職業技術學院）