關(guān)于傅立葉及其相關(guān)變化的學(xué)習(xí)

摘要：傅立葉及其相關(guān)變化使用廣泛，形式多樣，在學(xué)習(xí)過程中不僅需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還需要方法和技巧以達(dá)到事半功倍的效果。探討了學(xué)習(xí)傅立葉及其相關(guān)變化的主要內(nèi)容和學(xué)習(xí)的步驟和方法。

關(guān)鍵詞：傅立葉變化；拉普拉斯變化；Z變化

傅立葉變化和以它為基礎(chǔ)的多種變化（包括拉普拉斯變化、Z

變化、小波變化等），廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、通信、機(jī)械振動(dòng)、力學(xué)、自動(dòng)化控制、圖形處理等很多領(lǐng)域。這部分內(nèi)容既是重點(diǎn)又是難

點(diǎn)，難就難在它不僅要求有好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還要求我們從另一個(gè)角度來看待和思維自然界的一些現(xiàn)象。我們?cè)诮虒W(xué)和學(xué)習(xí)過程中，要充分利用形象的比喻、類比以及總結(jié)來理解和教授，以達(dá)到理想的效果。下面從幾個(gè)方面對(duì)傅立葉及其相關(guān)變化進(jìn)行學(xué)習(xí)總結(jié)。

一、傅立葉變化的主要目的是它實(shí)現(xiàn)了函數(shù)或信號(hào)從時(shí)域到

頻域的轉(zhuǎn)換

這使我們能從頻域的角度來認(rèn)識(shí)和重構(gòu)原始信號(hào)，它將符合狄利克雷條件的函數(shù)或信號(hào)轉(zhuǎn)換為無窮多個(gè)三角函數(shù)的線性組合，無窮多個(gè)三角函數(shù)的線性疊加組合又能還原為原始的函數(shù)或

信號(hào)。這樣轉(zhuǎn)換后，使我們?cè)跁r(shí)域中很難發(fā)現(xiàn)的某些信息，在頻率中就容易發(fā)現(xiàn)了。這可以看作是我們認(rèn)識(shí)事物的兩個(gè)不同角度，時(shí)間的角度、頻域的角度。在生活中，我們對(duì)待事物，很自然從時(shí)間的角度理解和使用，現(xiàn)在需要以理性的思維從頻域的角度來認(rèn)

識(shí)同一事物。它們是研究同一事物的不同方法。

二、傅立葉變化學(xué)習(xí)的進(jìn)階過程

三、使用Matlab增強(qiáng)理解和教學(xué)效果

Matlab大量應(yīng)用于數(shù)學(xué)、工程方面的計(jì)算和仿真，使用Matlab來實(shí)現(xiàn)傅立葉變化，方便快捷，能給我們直觀的感性認(rèn)識(shí)。

Matlab函數(shù)fft、fft2和fftn分別可以實(shí)現(xiàn)一維、二維和N維 DFT算法，而函數(shù)ifft、ifft2和ifftn則用來計(jì)算反DFT。這些函數(shù)的調(diào)用格式如下：A＝fft（X，N，DIM）。

四、幾種變化的相互關(guān)系及其對(duì)比

傅立葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個(gè)最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如，時(shí)域內(nèi)絕對(duì)可積的信號(hào)才可能存在傅立葉變換。拉普拉斯變換可以說是推廣了這一概念。在自然界，指數(shù)信號(hào)exp（-x）是衰減最快的信號(hào)之一，對(duì)信號(hào)乘上指數(shù)信號(hào)之后，很容易滿足絕對(duì)可積的條件。傅立葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數(shù)信號(hào)為exp（0）。拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上轉(zhuǎn)換到復(fù)頻域（s域）上來表示。z變換則是連續(xù)信號(hào)經(jīng)過理想采樣之后的離散信號(hào)的laplace變換，離散時(shí)間信號(hào)傅立葉變換是Z變換的一種特例。

五、傅立葉及其相關(guān)變化在多領(lǐng)域中的應(yīng)用舉例

傅立葉變換廣泛應(yīng)用在各個(gè)學(xué)科，這里舉例說明在計(jì)算機(jī)圖像處理中的應(yīng)用，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：a.圖像增強(qiáng)與圖像去噪：絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻——噪聲。邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強(qiáng)原始圖像的邊緣。b.圖像分割之邊緣檢測(cè)，提取圖像高頻分

量。c.圖像特征提取：包括形狀特征用傅立葉描述，紋理特征：直接通過傅立葉系數(shù)來計(jì)算紋理特征；其他特征：將提取的特征值進(jìn)行傅立葉變換來使特征平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)。d.圖像壓縮:可以直接通過傅立葉系數(shù)來壓縮數(shù)據(jù)。常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實(shí)變換。

傅立葉及其相關(guān)變化是幾乎所有工科都要學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，需要

反復(fù)訓(xùn)練和理會(huì)，借助于計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)工具能更好地理解和掌握。

（作者單位 四川樂山職業(yè)技術(shù)學(xué)院）