一道課本例題的“說題設計”

趙秀杰

題目：人教版數學九年級下冊課本第9頁例3.

[例3] 畫出函數y=-12（x+）2-1的圖像，指出它的開口方向、對稱軸及頂點.怎樣移動拋物線y=-12x2就可以得到拋物線y=-12（x+1）2-1？

下面我將從審題分析、解題過程、總結提升、評價分析這四個方面逐一說明.

一、審題分析

（一）題目背景

1題材背景：本題出自人教版數學九年級下冊“26.1.3二次函數y=a（x-h）2+k的圖像”第3課時的例3.

2知識背景：本例題涉及的知識點有：①描點法畫函數圖像的步驟；②二次函數y=ax2、 y=ax2+k、 y=a（x-h）2的圖像、性質及圖像間的相互關系.

3方法背景：根據已有經驗及知識間的內在聯系，大膽猜想后畫圖驗證，從函數對應值表、圖像、解析式觀察拋物線的平移規律.

4思想背景：數形結合思想、平移變換思想、化歸思想、坐標思想、從特殊到一般思想.

（二）學情分析

1學生特點：本題的教學對象是畢業班學生，他們的觀察能力有所發展，抽象邏輯思維開始占優勢，具有從一定問題中抽象概括出一般規律的能力.

2估計學生會出現的困難：當知識點單個呈現時，學生會較熟悉，易于掌握.但綜合在一起，學生就不容易理解、歸納概括出一般規律.

3策略：學生已掌握了利用描點法畫函數的圖像，能從圖像上認識函數的性質.本題的教學應從分析教材的編寫意圖出發，引導學生體會數學之間的聯系，感受數學的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力.

（三）重、難點

重點：在二次函數y=ax2及其圖像的基礎上，研究二次函數y=a（x-h）2+k的圖像及其與y=ax2圖像的關系.

難點：探索和發現二次函數y=a（x-h）2+k的性質及拋物線的平移規律.

突破難點的關鍵：從“數”的角度，通過函數對應值表，引導學生發現拋物線的平移規律.

（四）教材編寫意圖

研究函數的“三部曲”：定義、圖像、性質.結合圖像討論性質是數形結合地研究函數的重要方法.本章從最簡單的二次函數y=ax2開始逐步深入地討論一般二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質.這也突出體現了《數學課程標準》的要求：教材內容的編排和呈現要突出知識的形成與應用過程.

以下是二次函數知識間的內在聯系：

在這里我以兩條主線展開：函數的圖像、函數的性質，充分體現數形結合思想.（1）y=ax2，從形的角度看，a決定開口方向、大小；從數的角度看它的性質：①開口方向；②對稱軸；③頂點坐標.（2）y=ax2+k，k決定上下平移的方向和距離，性質還是這三條，因為上下平移，所以頂點的縱坐標改變.（3）y=a（x-h）2，h決定左右平移的方向和距離，因為發生了左右平移，所以性質中的對稱軸和頂點坐標都發生變化.本題是形如y=a（x-h）2+k，是前幾種情形的綜合，我們同樣從形的角度分析a、h、k的意義，從數的角度分析這三方面性質.而我們后面要討論的一般二次函數y=ax2+bx+c可以通過配方轉化為y=a（x-h）2+k，體現了化歸思想，例3的解決也起到了承上啟下的作用.

二、解題過程

（一）知識回顧

1拋物線y=2x2-9的開口向，對稱軸是，頂點坐標是，它可以看做是由拋物線y=2x2向平移個單位得到的.

2.拋物線y=-（x-1）2是由拋物線向平移個單位得到的，平移后的拋物線對稱軸是直線，頂點坐標是，當x=時，y有最值，其值是.

3若拋物線的對稱軸為直線x=-3，且它與拋物線y=-2x2的形狀相同，開口方向相同，則拋物線所對應的解析式是.

通過3道不同類型的練習，讓學生回顧幾種函數的圖像、性質，為例3的學習做好鋪墊.

（二）問題設計

本題要解決三個問題：①畫出函數圖像；②指出它的開口方向、對稱軸、頂點；③描述它的平移過程.有了前面的知識鋪墊，前兩個問題較容易解決.問題3是學生的難點.類比y=ax2+k可由y=ax2上下平移得到，y=a（x-h）2可由y=ax2左右平移得到. 為此我設計兩個思考問題.

1.函數y=-12（x+1）2-1的圖像能否由函數y=-12（x+1）2的圖像通過上（下）平移而得到？

2.函數y=-12（x+1）2-1的圖像能否由函數y=-12x2-1的圖像通過左（右）平移而得到？

我估計學生的思考和猜想會很簡單，他們會回答“可以”.但為什么可以？學生也是知其然，但不知其所以然.所以接下來應引導學生從數、形兩個角度闡述.

問題1：

x…-3-2-10123…y=-12（x+1）2-2-050-05-2-45-8y=-12（x+1）2-1-3-15-1-15-3-55-9我通過列表，并填充不同的顏色，讓學生直觀地發現，從數的角度分析：當點的橫坐標相同時，y=-12（x+1）2-1上點的縱坐標的值總比y=-12（x+1）2上點的縱坐標的值小1，說明圖像向下平移了1個單位.從形的角度分析，我通過幾何畫板的動態演示，更直觀、形象地得到它是由上一個函數圖像向下平移一個單位得到.從而得出式子①，進而抽象得出式子②.

x…-3-2-10123…y=-12x2-1-55-3-15-1-15-3-55y=-12（x+1）2-1-3-15-1-15-3-55-9我先從數的角度引導學生觀察表格，標注不同的顏色，讓學生發現相同顏色的數字有何關系.這樣直觀地教學，學生會較容易發現：當兩個函數上點的縱坐標相同時，橫坐標總相差1.從而我們得出y=-12（x+1）2-1的圖像是由y=-12x2-1向左平移1個單位得到的. 再從形的角度分析，我通過幾何畫板的動態演示，更直觀、形象地得到它是由上一個函數圖像向左平移一個單位得到. 從而得出式子③，進而抽象得出式子④.

學生對于上下平移易于理解，左右平移易出錯.在這里我就很好地突破了這個難點.使學生知其然，并知其所以然.

通過思考問題的解決，可以得出以下兩個結論，對學生解決例3中的第3個問題做了很好的鋪墊.

（三）解決問題

在學生解決問題后，教師展示規范的解法，讓學生注意列表、描點、連線畫函數圖像時，要根據拋物線的對稱性取值，如可以先確定拋物線的對稱軸x=-1，再對稱取點.最后演示拋物線的平移過程，讓學生更直觀、深刻地理解平移規律.

（四）觀察、歸納

由例3得出進而抽象概括出以下式子：

在這里，左右平移的方向是學生的易錯點，可先確定對稱軸，令x-h=0，x=h，如令x+1=0，得拋物線的對稱軸x=-1，從而確定圖像是向左平移1個單位.

三、總結提升

（一）解題方法總結

分別從數的角度歸納二次函數y=a（x-h）2+k的性質，從形的角度歸納圖像的特點及平移規律.

（二）題目變式延伸

1.拋物線y=3（x-1）2-4可由拋物線y=3x2先向平移個單位，再向平移個單位得到.

2.二次函數y=-2x2向上平移5個單位得到，再向左平移4個單位得到， 根據最后得到的解析式，指出函數的性質.3.分小組編題訓練：①已知平移后的解析式，說出它的平移過程；②已知平移過程，寫出平移后的函數解析式，并說出函數的性質.

圍繞教學重點，我做如下兩類變式：①已知平移后的解析式，說出它的平移過程； ②已知平移過程，寫出平移后的函數解析式，并說出函數的性質.同時，讓學生圍繞這兩種變式進行分組編題訓練，這樣在鞏固學生所學知識的同時，學生思維的靈活性和深刻性也得到了提升.

四、評價分析

（一）教法設計

1注重形成平等的師生關系，體現教師是學生學習的組織者、引導者、合作者.

2重視引導學生獨立探究，獨立分析，主動合作，讓學生在自主探索、合作交流中理解掌握知識技能，提高素質.

3能恰當合理運用現代教育技術.

（二）教學反思

1.本題對函數的研究我以兩條主線——圖像和性質展開.從形的角度分析較直觀，但如何從數的角度分析函數的性質是個重點也是難點.我通過問題的設置，引導學生觀察圖表，通過點的坐標變化發現平移規律，很好地突破了難點.

2.二次函數的教學是初中數學的重中之重，教學中我突出前后知識的緊密聯系，本題教學起著承上啟下的作用，它也是與高中坐標平移內容很好的銜接.

3.人民教育出版社主任，本教材的主編章建躍博士說，要教好數學，務必做到三個理解：“理解數學、理解學生、理解教學”.準確把握課標要求，深入鉆研教材，了解教材的編寫意圖，理清知識的發生、發展過程及其內在聯系，是教好數學的重要前提.

注：此文榮獲“2012年南寧市首屆初中數學說題比賽”一等獎.（責任編輯黃春香）二、情境教學激發策略