一道中考?jí)狠S題設(shè)計(jì)及解法的商榷

朱成敏

摘 要： 2011年廣東深圳的中考數(shù)學(xué)題第23題設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)點(diǎn)四邊形周長(zhǎng)最短的問(wèn)題，由于答案給出的情況不完整，本文用分類(lèi)討論的方法對(duì)其他可能出現(xiàn)的情況加以討論，給出了一般性的結(jié)論，并改進(jìn)了題目的問(wèn)法，使其更加科學(xué).

關(guān)鍵詞： 中考?jí)狠S題 設(shè)計(jì) 解法 分類(lèi)討論

2011年廣東深圳的中考數(shù)學(xué)題第23題：如圖1，拋物線(xiàn)y=ax■+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式.

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線(xiàn)PQ為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)G為直線(xiàn)PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小.若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）略.

圖1 圖2

參考答案：y=-x■+2x+3（1）.

（2）存在.由y=-x■+2x+3（1）可得：E（2，3），A（-1，0），D（0，3），所以直線(xiàn)AE的解析式為y=x+1.

點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F■（0，-1），連接EF■交PQ于點(diǎn)G、交x軸于點(diǎn)H，此時(shí)D、G、H、F四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最小.

由E（2，3），F(xiàn)1（0，-1）可得直線(xiàn)EF1的解析式為，所以G（1，1），H（，0），周長(zhǎng)的小值為DF+EF■=2■.+2

（注意：如果得到點(diǎn)G（1，-1），點(diǎn)H（■，0）不是正確答案.）

讀畢，疑問(wèn)如下：

（1）得到這個(gè)點(diǎn)G（1，-1），點(diǎn)H（■，0）錯(cuò)誤結(jié)果的過(guò)程是分別取了D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和F關(guān)于直線(xiàn)PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).那么為什么這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的呢？同時(shí)取兩點(diǎn)關(guān)于兩條對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的時(shí)候該如何取？

（2）該四邊形周長(zhǎng)最短的結(jié)論未證明，若仔細(xì)考慮證明過(guò)程就會(huì)發(fā)現(xiàn)，該解答是基于DF是定值，而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在x軸和直線(xiàn)PQ上取點(diǎn)G、H，使得DG+GH+HF最短.這個(gè)轉(zhuǎn)化存在一個(gè)問(wèn)題：DF是否會(huì)成為D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形的對(duì)角線(xiàn)？如果會(huì)成為對(duì)角線(xiàn)，則參考答案中的答案還是最短的嗎？

下面分別探討這兩個(gè)問(wèn)題.

為不失一般性，提出問(wèn)題：平面直角坐標(biāo)系中，在第一象限有A（m，n），B（p，q）兩點(diǎn)，試在x軸與y軸上分別取點(diǎn)C、點(diǎn)D使得A、B、C、D四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小.

第一個(gè)問(wèn)題：取點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)還是y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)得到的四邊形周長(zhǎng)較小？

方案一：取點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1（-m，n），取點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1（p，-q），連接A■B■交x軸與y軸于點(diǎn)C■、D■，此時(shí)由點(diǎn)A、B、C■、D■圍成的四邊形周長(zhǎng)記作L■.（圖3）

方案二：取點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A■（m，-n），取點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B■（-p，q），連接A■B■交x軸與y軸于點(diǎn)C■、D■.此時(shí)由點(diǎn)A、B、C■、D■圍成的四邊形周長(zhǎng)記作L■.（圖4）

圖3 圖4

方案一中，由點(diǎn)A■（-m，n），B■（p，-q）可得直線(xiàn)A■B■的解析式為：

y=-■x+■，

則其與y軸交點(diǎn)D1的坐標(biāo)為（0，■），與x軸交點(diǎn)C■的坐標(biāo)為（■，0）.

方案二中，由點(diǎn)A■（m，-n），B■（-p，q）可得直線(xiàn)A■B■的解析式為：

y=■x-■，

則其與y軸交點(diǎn)D■的坐標(biāo)為（0，-■），與x軸交點(diǎn)C■的坐標(biāo)為（-■，0）.

若pn-mq>0，即點(diǎn)C■與D■分別在坐標(biāo)軸的正半軸上，

L■=AD■+C■D■+C■B+AB=A■B■+AB，

點(diǎn)C■與D■分別在坐標(biāo)軸的負(fù)半軸上，

L■=AC■+C■D■+D■B+AB=A■B■+AB+C■D■.

易知A■B■=A■B■，因此L■

反之，若pn-mq=0，則L■>L■.

若pn=mq=0，則由點(diǎn)A、B、C、D圍成的四邊形周長(zhǎng)不存在最小值.

結(jié)論一：方案一與方案二的取舍條件在于比較■與■的大小，也就是直線(xiàn)OA與直線(xiàn)OB的斜率大小.若OA斜率較小，則取點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；若OB斜率較小，則取點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

為方便起見(jiàn)，記L=min{L■，L■}.

第二個(gè)問(wèn)題：若點(diǎn)C與點(diǎn)D的選擇過(guò)程中，若考慮AB是四邊形的對(duì)角線(xiàn)，則此時(shí)四邊形的最短周長(zhǎng)與L相比哪個(gè)更短？

若AB是四邊形的對(duì)角線(xiàn)，則其周長(zhǎng)最小的作法為：取點(diǎn)A（或點(diǎn)B）分別關(guān)于x軸和y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A■（m，-n），A■（-m，n），連接A■B、A■B分別交x軸、y軸于點(diǎn)C■、D■，此時(shí)，由點(diǎn)A、B、C■、D■圍成的四邊形周長(zhǎng)記作L■.（圖5）

易得，L■=A■B+A■B=■+■，

而L=A■B■+AB=■+■.

L■■-L■=2■-2■

由于[（p-m）■+（q+n）■][（p+m）■+（q-n）■]-[（p+m）■+（q+n）■][（p-m）■+（q-n）■]=（q+n）■+（p+m）■+（p-m）■（q-n）■-（p-m）■（q-n）■-（q+n）■（p-m）■=4qn（p+m）■-4qn（p-m）■=16pqmn>0

因此，L■>L.

結(jié)論二：點(diǎn)C與點(diǎn)D的選擇過(guò)程中，若考慮AB是四邊形的對(duì)角線(xiàn)，則此時(shí)四邊形的最短周長(zhǎng)比L更長(zhǎng).

綜上所述，原題的答案是正確的，但過(guò)程的考慮存在一定的缺陷，而整個(gè)討論的要求對(duì)初中學(xué)生難度過(guò)大，在考場(chǎng)很難給出詳細(xì)全面的考慮過(guò)程，因此建議將題目中的“使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小”改為“使四邊形DGHF周長(zhǎng)最小”可以避免出現(xiàn)DF為四邊形對(duì)角線(xiàn)的情形，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，更易于作答.