有限元法的后置處理

郭小蘭

摘 要： 有限元法是求解復雜工程問題的一種近似數值分析方法，廣泛用于工程技術的各個領域。有限元法的分析輸出結果評估，即后置處理是有限元法的重要內容，其主要功能是利用圖形技術顯示有限元分析的輸出結果。

關鍵詞： 有限元法 后置處理 網格圖 應力應變圖

有限元法是一種求解復雜工程問題的一種近似數值分析方法，它所分析的區域具有任意形狀、載荷和邊界條件；可以使用不同類型、形狀和物理性質的單元。有限元網格與真實結構具有高度的物理相似，不是難以形象化的數學抽數，易為工程技術人員所理解[1]。有限元法的后置處理是通過直觀的圖形描述有限元分析的結果，以便對其進行分析、檢查和校核。后置處理輸出的圖形包括網格、靜態變形、振型、應力及應變等。

1.網格圖

網格圖的簡單顯示可用線框來繪制。例如，四邊形單元由四條邊顯示，六面體單元出十二條邊顯示等。所以，繪制出單元每條邊即繪制出了網格圖。當網格節點增多，或采用三維實體單元時，很難看出結構的幾何形狀，所以有時必須對網格進行消隱處理，使網格圖表達的意義更明確。

消隱處理方法的基本原理是：空間物體各個面在投影平面上投影后產生重疊，這樣，某些面可能被其他面全部或部分遮擋，而變得全部或部分不可見。將相互重疊的部分根據邊界相交劃分為多個子區域，相應物體表面的線段被劃分為多個子線段；每個子線段非端點上的任意點可見性即代表該于線段的可見性，通常取于線段的中點來判斷[2]。

在有限元網格圖消隱中，如果對每條線段和每個面進行上述的運算，則計算量是相當大的。對全為三維實體單元的網格，判斷線段和面是否應該參與運算可按如下方法進行。

（1）從給定節點向任一方向作射線，穿過形體表面的次數若為奇數，則表明該節點處于形體內部，因面與此節點相連的線段及面不必參與運算。這種方法必須基于幾何模型，即已知形體的表面。

（2）若與給定節點相連的每個單元面皆為兩個單元的公共面，則與此節點相連的線段和面不必參與運算。

根據有限元模型的特殊性，可以用深度優先的方法進行消隱處理。根據深度由大到小依次用區域填充的方法繪出每個單元，深度小的單元覆蓋深度大的單元，這樣即得到了消隱效果。但是，這種方法在某些地方（如單元尺寸相差太大，而單元又是相鄰的情況下）會產生不太理想的效果，即產生不正確的消隱。

2.節點位移的描述

用結構的變形圖來描述節點位移比較直觀。變形圖可以表示結構在靜載下的位移和自由振動的振型。顯示變形圖與顯示網格圖的方法相似，所不同的是節點的坐標位置發生了變化，變形后的節點坐標為：X=X■+△X （1）

（1）式中，X■為節點坐標，△X為變形量。

一般情況下，變形量相對于結構尺寸很小，為了反映結構的變形。坐標值可按下式得到：

X=X■+α△X （2）

（2）式中α為放大系數。取合適的α值，即可得到表達明確的變形圖。為了比較變形前與變形后的結構，可將它們重疊顯示。

振型圖繪制與變形圖繪制相似，為了得到動態的視覺效果，可以繪制一組相應的變形圖，節點坐標為：

X■=X■+αsin（■i）△X （3）

（3）式中.N為顯示圖幅數，i=0，1，…，N-1，△X為振型向量，但不包括轉角。

有時可能關心結構上某些節點的變形情況，這時可以用二維坐標圖表示結構的變形情況。例如，用橫坐標表示節點在整體坐標系中的位置，縱坐標表示變形量。

3.應力圖和應變圖

應力面和應變圖一般較多地采用等值線來描述，并且只需要繪制結構的表面或某一方向的應力和應變。設最大和最小應力和應變值為π■和π■，等值線數為N>2，則等應力值或等應變值可以按下式確定。

π■=（π■+π■）Q■-π■（i=1，…，N） （4）

（4）式中π為基準平移值，保證π■+π■>0，Q為應力降低系數。

Q=（■）■ （5）

等值線的繪制方法是：在結構表面或戴面上利用插值方法得到離散的數據點，將單元坐標系下的數值，變換到整體坐標系下。確定繪制等值線的值，通過對數據進行搜索、提取，即可得到等值點，用等值線跟蹤的辦法即可繪出等值線。等值線應該既不相交又不分叉。

4.結語

后置處理是在有限元分析后，實現對計算結果的顯示與繪圖，即在計算機屏幕上動態顯示受載構件的變形過程及應力、應變分布，從而使操作人員能夠很快地估計出所建有限元模型的變形情況，為了解決從設計到制造過程中存在的瓶頸，必須重視和解決有限元的后置處理程序。

參考文獻：

[1]梅中義，范玉青，胡世光.有限元分析前、后置處理系統[J].航空制造工程，1996（3）.

[2]孫靖民.現代機械設計方法[M].哈爾濱工業大學出版社，2003.