《實(shí)變函數(shù)》課程教學(xué)改革探索

潘義前

摘 要：針對(duì)新升本科院校數(shù)學(xué)本科專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)課程存在困難的現(xiàn)狀，從教學(xué)方法與教學(xué)內(nèi)容上提出了一些探索性的改革。

關(guān)鍵詞：實(shí)變函數(shù)；教學(xué)改革；教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2013）08-0207-02

實(shí)變函數(shù)課程是高等學(xué)校數(shù)學(xué)本科專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，通過(guò)這門課程的教學(xué)應(yīng)使學(xué)生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握貝格測(cè)度和勒貝格積分理論，著重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和邏輯推理能力，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論打下基礎(chǔ)。實(shí)變函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想與方法密集，是開展理論和應(yīng)用研究必不可少的基礎(chǔ)課程。同時(shí)，它又是數(shù)學(xué)分析課程中許多重要概念的加深與拓廣，融合在實(shí)變函數(shù)理論中的思想方法和數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力培養(yǎng)有著舉足輕重的作用。與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等課程相比，實(shí)變函數(shù)內(nèi)容更抽象，理論更深刻，論述更精密，普遍認(rèn)為是數(shù)學(xué)專業(yè)本科階段最難學(xué)習(xí)的課程之一。作為任教老師，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研究這門課的教法，上好這門課，使學(xué)生能真正理解這門課的思想實(shí)質(zhì)。

隨著中國(guó)高校十多的快速發(fā)展，高等教育已從精英階段邁入了大眾化發(fā)展階段。新升本的地方院校學(xué)生來(lái)源分布廣，生源質(zhì)量與老牌本科院校的相比還是有一定差距。目前，實(shí)變函數(shù)的課程體系、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法都還是沿用精英教學(xué)時(shí)期的，就此，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷，參考其他教師的教學(xué)改革研究成果 [1-8]，提出了一些教學(xué)改革探索。

一、著力做好基本概念和基本理論的教學(xué)

注重實(shí)際應(yīng)用背景知識(shí)及幾何直觀的解釋，強(qiáng)調(diào)講清楚概念與方法的來(lái)源，使抽象概念的引入具體生動(dòng)，克服學(xué)生在數(shù)學(xué)上認(rèn)知與理解的困難。注重方法、技巧及思維的啟發(fā)引導(dǎo)，強(qiáng)化習(xí)題訓(xùn)練，鞏固深化基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，指導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

（一） 要善于運(yùn)用類比方法，講透基本概念

實(shí)變函數(shù)課程的基本概念特別多，而且比較抽象，因此，在基本概念的教學(xué)過(guò)程中，要講究一些教學(xué)方法，要思考怎樣講解才能使得學(xué)生更容易理解。因?yàn)閷?shí)變函數(shù)課程是數(shù)學(xué)分析課程的繼續(xù)與深化，所以許多概念這兩門課程之間都有很多相似之處。從而在講解一些概念時(shí)，可以把數(shù)學(xué)分析中相關(guān)的概念先復(fù)習(xí)一篇，然后通過(guò)類比的方法給出實(shí)變函數(shù)課程中的新概念。比如，在講解依測(cè)度收斂時(shí)，如果直接寫出它的定義形式，學(xué)生一時(shí)是比較難接受的，我們可以通過(guò)類比的方法，先復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的收斂的定義，然后給出依測(cè)度收斂的定義；在講解可測(cè)函數(shù)的積分的概念時(shí)，老師可以先給出數(shù)學(xué)分析課程中閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)定積分的定義，然后講清它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

（二）定理教學(xué)要注重思維啟發(fā)

教師在定理教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生明確該定理在本章節(jié)的地位、作用以及它的應(yīng)用價(jià)值。要強(qiáng)調(diào)定理間的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯結(jié)構(gòu)，避免孤立對(duì)待每個(gè)定理。在定理證明的教學(xué)中，首先要讓學(xué)生明確證題的思路以及最終目標(biāo)，一般采用分析的方法講解證明的思路，盡量站在初學(xué)者的立場(chǎng)，以比較自然清晰的思路去講解定理的證明。這樣逐步教會(huì)學(xué)生探索怎樣想出定理的證明，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。另外，還要注意對(duì)常用的、有價(jià)值的證題技巧的培養(yǎng)，否則有了正確的思路，仍無(wú)法證題。在講解定理時(shí)，對(duì)常用的、有價(jià)值的技巧，講清它的特點(diǎn)，介紹它的作用和常用在什么地方，要求學(xué)生掌握熟記。概念與定理教學(xué)是實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的重中之重，那是因?yàn)槿绻麑W(xué)生對(duì)實(shí)變函數(shù)中的很多概念不明確、定理結(jié)論不熟記，不掌握證題的技巧，學(xué)生就會(huì)失去學(xué)習(xí)這門課程的積極性與信心，所以，必須首先上好概念定理的內(nèi)容。

二、采用直觀化的教學(xué)方法

實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容雖是微積分的繼續(xù)深化，但在思想方法上確有較大的飛越，實(shí)變函數(shù)的一些概念比起數(shù)學(xué)分析來(lái)要抽象得多，大多數(shù)學(xué)生覺(jué)得實(shí)變函數(shù)難懂、抽象，難學(xué)。要按時(shí)且高質(zhì)量的完成該課程的教學(xué)，就需要教師從教學(xué)方法上下功夫，增加趣味性，減少枯燥性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。適當(dāng)采用直觀化的教學(xué)手段和通俗形象的教學(xué)語(yǔ)言。由于實(shí)變函數(shù)理論的高度抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)總是感到實(shí)變函數(shù)不可捉摸，難以深入理解其思想本質(zhì)。教師在講解時(shí)要盡可能將主要概念的產(chǎn)生背景，以及概念之間的內(nèi)在聯(lián)系加以介紹[2] ；在授課過(guò)程中，要通過(guò)列舉一些與生活相關(guān)的實(shí)例來(lái)闡明一些抽象、含混晦澀的定理和定義；在教學(xué)過(guò)程中，適當(dāng)?shù)夭捎弥庇^化的教學(xué)手段和通俗形象的教學(xué)語(yǔ)言，可以幫助學(xué)生克服覺(jué)得實(shí)變函數(shù)難懂、抽象、枯燥的心理，從而學(xué)好實(shí)變函數(shù)。直觀化的教學(xué)手段是多樣性的。它可以是為學(xué)生所熟悉的數(shù)學(xué)分析中的直觀例子；可以是富有趣味、直觀形象且具有啟發(fā)性的例子；可以是直觀化的圖示等。

三、教師精講與學(xué)生自學(xué)相結(jié)合

精講不是簡(jiǎn)單的刪除內(nèi)容，而是精選出在整個(gè)課程中承上啟下、多處應(yīng)用到的概念或者定理，精講典型例子以及常用方法。我們的教材都是國(guó)內(nèi)名校名師編寫的，針對(duì)的是精英教育模式。地方本科院校的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)來(lái)說(shuō)是比較差一點(diǎn)，必須因材施教。就是要采取是“少而精”的辦法，把有限教學(xué)時(shí)間的合理分配，也就是重點(diǎn)要突出，該詳?shù)木蛻?yīng)該詳，該略的必須略。比如，可測(cè)函數(shù)列的收斂性就要精講，但是可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造中的魯津定理可以略講，讓學(xué)生自學(xué)。隨著高校學(xué)生的學(xué)習(xí)獨(dú)立性不斷增強(qiáng)，實(shí)變函數(shù)一般都是在大三開課，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)具備一定的自學(xué)能力。因此，我們教師對(duì)“教”的地位需要重新認(rèn)識(shí)，“教”的概念應(yīng)由填鴨式的傳授知識(shí)轉(zhuǎn)化為對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的啟發(fā)和指導(dǎo)。如連續(xù)、收斂概念的教學(xué)，可以指導(dǎo)同學(xué)們對(duì)比數(shù)學(xué)分析的連續(xù)自己自學(xué)。在實(shí)變函數(shù)中由教“書”向教“學(xué)”轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)習(xí)及獨(dú)立鉆研的能力，也是培養(yǎng)學(xué)生講課及語(yǔ)言表達(dá)的能力。精講給自學(xué)留下了足夠的空間，自學(xué)又反過(guò)來(lái)給精講創(chuàng)造了條件和鋪平了道路[5].對(duì)自學(xué)的內(nèi)容，授課教師要先編寫自學(xué)提綱，提出問(wèn)題，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)教材和教學(xué)參考書的閱讀、分析和思考。

四、傳統(tǒng)教學(xué)與多媒體教學(xué)相結(jié)合，豐富教學(xué)手段

實(shí)變函數(shù)課程中有很多概念以及定理是很抽象，甚至很難理解。 那么，就要善于將現(xiàn)代教學(xué)手段應(yīng)用到本課程的教學(xué)中去，發(fā)揮多媒體教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)，把抽象的概念定理直觀化和形象化，通過(guò)使用特例的圖形來(lái)幫助理解抽象的內(nèi)容。比如，一般集合中的許多結(jié)論，先用區(qū)域或某些特殊圖形來(lái)理解它，就可猜測(cè)出其結(jié)果，然后再去證明。精心制作電子教案與多媒體課件，將本課程中相關(guān)的數(shù)學(xué)家，如黎曼、康托爾以及勒貝格等數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的事跡通過(guò)多媒體展現(xiàn)出來(lái)，以增加趣味性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。多媒體教學(xué)也有其自身的不足之處，那么，教師在授課過(guò)程中最好采用多媒體與傳統(tǒng)板書相結(jié)合的方式，這樣可以大大提高了教學(xué)效果。開展多媒體教學(xué)大大加強(qiáng)了實(shí)變函數(shù)中的符號(hào)計(jì)算與圖形演示，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的興趣，加深學(xué)生對(duì)理論數(shù)學(xué)的理解，培養(yǎng)動(dòng)手能力等具有重要的作用。

五、分章小結(jié)、精心設(shè)計(jì)習(xí)題課，化解學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)

很多同學(xué)說(shuō)實(shí)變函數(shù)很難掌握，我們認(rèn)為，一個(gè)重要原因是面對(duì)習(xí)題總是感覺(jué)到無(wú)從下手。實(shí)變函數(shù)的習(xí)題幾乎沒(méi)有計(jì)算題，全部是證明題，而且理論性很強(qiáng)。要完成習(xí)題作業(yè)，就需要學(xué)生在熟悉掌握所學(xué)概念與定理的基礎(chǔ)上，展開抽象思維，認(rèn)真分析，合理推證，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求很高。如果學(xué)生對(duì)課后習(xí)題不能順利做出，長(zhǎng)此以往，就會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生實(shí)變函數(shù)難學(xué)的心理負(fù)擔(dān)，不利于學(xué)生對(duì)實(shí)變函數(shù)知識(shí)與概念的鞏固復(fù)習(xí)。因此，在教學(xué)的過(guò)程中要定期分章及梳理小結(jié)，精選經(jīng)典習(xí)題，并重點(diǎn)精解。這樣，對(duì)于學(xué)生掌握實(shí)變函數(shù)習(xí)題中的典型方法、分解難點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心與積極性十分有益。選題原則是強(qiáng)調(diào)基本概念、性質(zhì)、定理，突出基本方法，題目不宜太多太難，應(yīng)努力使學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題技巧，選題對(duì)于一類習(xí)題要有啟發(fā)性。講解時(shí)要做好師生互動(dòng)，有些只要講解思路，予以提示即可；對(duì)于繁難題目可以認(rèn)真講解[4]，采取一題多解、舉一反三的教學(xué)方法，強(qiáng)化習(xí)題練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，引導(dǎo)學(xué)生攻克學(xué)習(xí)難關(guān)和培養(yǎng)靈活運(yùn)用的能力。習(xí)題課是使學(xué)生掌握好課堂講授內(nèi)容的重要補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力和提高學(xué)習(xí)效果的極好形式，同時(shí)也是師生互動(dòng)、加強(qiáng)交流的大好機(jī)會(huì)。

總之，在教學(xué)的實(shí)踐過(guò)程中，任課教師要深入研究教材，積極開展教學(xué)方法的研究，把“教學(xué)相長(zhǎng)”思想貫穿在教學(xué)過(guò)程中，加大學(xué)生由“學(xué)”到“教”的力度，形成活躍輕松的課堂氣氛，既注重幫助學(xué)生迅速而牢固地掌握基本知識(shí)，又注意啟發(fā)思維，引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、熱情，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)習(xí)及獨(dú)立鉆研的能力。要加強(qiáng)師資隊(duì)伍建設(shè)，使任課教師進(jìn)一步提高自身能力，授課教師要經(jīng)常探討相互的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，相互借鑒，共同分析。

參考文獻(xiàn)：

[1] 薛昌興.實(shí)變函數(shù)教學(xué)改革研究[J].甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，（1）：47-49.

[2] 馬引弟.《實(shí)變函數(shù)論》課程教學(xué)改革的探索與實(shí)踐[J].科技信息，2007，（5）：33-33.

[3] 鐵勇.大學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)課程的困因和教學(xué)改革的探討[J].曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，（30）：71-73.

[4] 徐西安.改進(jìn)實(shí)變函數(shù)教學(xué)的一些方法[J].山東教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，（4）：103-105.

[5] 吳立寶，何童麗.普通高師《實(shí)變函數(shù)》課程教學(xué)方法改革初探[J].保山師專學(xué)報(bào)，2007，（3）：33-36.

[6] 易艷春.實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)方法探索[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2008，（12）：51-52.

[7] 李瀏蘭，唐祥德.提高師范院校實(shí)變函數(shù)教學(xué)效率的方法探討[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2009，（8）：163-163.

[8] 宋文，胡艷紅.在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想史的體會(huì)[J].繼續(xù)教育研究，2012，（5）：158-160.

[責(zé)任編輯 高惠琦]