讓學生在“猜想—驗證”中探索

周泯

【案例描述】

這是四年級的一節數學課，課題是《交換律》。

首先通過計算得出2+3=3+2，3+4=4+3以后，學生都覺得“使兩個加數交換位置，仍然會得到相同的和”。老師寫下一句話“使兩個加數交換位置之后，仍然能得到相同的和。”在黑板上面。

1.師：這個結論只是根據兩個特殊的例子巧妙地得出的，這樣好像不夠謹慎。然而我們可以把這個結論進行猜想（教師寫一個問號在結論末尾）。

這句話只是猜想，所以我們還應該……

生：進行實例驗證。

之后，學生之間進行同桌之間的合作，舉例在作業紙上進行驗證。

2.師：誰能夠把你舉的例子說一下。

生1：我一共列舉的例子有三個，45+7=7+45，21+9=9+21，17+5=5+17。通過這些例子可以發現，把兩個加數進行交換位置之后，可以得到相同的和。

生2：我同樣有三個例子要列舉，200+500=500+200，5+18=18+5，34+158=158+34。我同樣認為把兩個加數交換位置之后，可以得到相同的和。

3.師：還有不同的例子嗎？

4.師：那你們覺得下面這個同學的舉例，又給了我們哪些新的啟迪？

生4：我們之前在舉例的過程中，全部都沒有進行零的考慮，他想的比我們周到。

生5：他還進行了分數以及小數的舉例，我從中理解了，不僅僅是兩個整數交換位置時可以得到相同的和，在進行分數以及小數位置交換時，也可以得到相同的和。

5.師：正確，由于我們不僅僅是要論證“在進行兩個整數交換位置時可以得到相同的和”，還要說明：在對任何兩個加數進行位置交換時，都可以得到相同的和。

師：這樣說來有許多學問存在于舉例驗證猜想之中。如今許多例子的舉出，可以得到“把兩個加數進行交換位置之后，可以得到相同的和”這個結論了沒有？是否有人在進行舉例的過程中，有反例的發掘呢，就是說在把兩個加數進行交換位置的時候，得到了不同的和？（學生否認）也就是說，剛才的猜想成立了？

生：成立。

（師把末尾的問號改成句號。）

6.師：在對之前的學習進行回顧的過程中，除了使結論得到論證，你還有沒有別的收獲？

生1：我的收獲是在對某個猜想進行論證的過程中，例子要舉得盡可能的多。

生2：在舉例子的過程中，應該考慮到各種情況。

7.師：剛剛我們的猜想是通過個別特例形成的，并且通過例子得以驗證的，這種方法能夠獲取結論。“在進行相加的過程中，把兩個加數進行位置交換后會得到相同的和”。也就是說，在……

生1：在進行相減的過程中把兩個數交換位置后，能不能得到相同的差呢？

師：第一個猜想：在減法中把兩個數交換位置后，可以得到相同的差？

生2：也就是說，在乘法中把兩個乘數交換位置后，也會得到相同的積？

師板書：第二個猜想：在乘法中把兩個數交換位置后，可以得到相同的積？

生3：在除法中把兩個數交換位置后，可以得到相同的商？

師板書：第三個猜想：在除法中把兩個數交換位置后，可以得到相同的商？

師：學生可以依照興趣，對其中一個進行驗證。

【案例反思】

1.巧設“疑”境，引出猜想

教師要根據學生的心理需求，在教學內容和學生求知欲之間，把較好的問題進行大膽創設情境，使學生在認知方面的沖突得到展現，引發學生大膽猜想：“交換兩個加數的位置，和不變嗎？”各種大膽的猜想使學生思維的新穎性、獨創性得到了培養，激發了學生的學習興趣和探究欲望，所謂“學起于思，思源于疑”，同時猜想也是進行探究學習的起步。

2.構建“動”場，進行驗證

通過驗證任何猜想，使它的普遍意義得到確立，學生對數學知識進行參與的過程也就是對猜想進行驗證的過程。假如無驗證只有猜想，也就是空想，結合驗證和猜想，才能夠讓猜想得到非惡性的循環。在上面的案例中我牢牢地抓住“發現規律—驗證規律”這條“猜想、驗證”的主線，給了學生充分思考的時間、想象的空間，令學生的思考不間斷：如何驗證？這樣驗證可以嗎？如何對它的成立進行說明？在探究這些問題的過程中，激活了學生的思維，也進行了生生與師生之間碰撞的思維，使原有的問題得到解決，而通過新問題的產生，使得沖突展現，學生思維得到升華。通過這種方式不僅使學生通過自己積極的探索、嘗試、驗證上面自己的猜想，找到解決問題的途徑與方法，實現“授之魚”到“授之漁”的根本轉變，同時更是一種科學態度的熏陶。

“在人的心靈內部，都有一種需要是根深蒂固存在的，這種需要是使自己成為探索者、研究者以及發現者。”——（蘇霍姆林斯基）所以，我們不能把課堂看成是傳授知識的場所，而應是探究知識的場所。讓“猜想、驗證”成為學生主動探求知識的方式，讓學生體驗成功解決數學問題的情感，掌握學習的本領，形成終身學習必備的素養。

讓猜想參與數學教學，讓學生在猜想驗證中放飛自己的思維。