關于“拋硬幣實驗”的思考

高衛芳

聽過或上過人教版五年級上冊《等可能性》一課的老師都知道，這節課需要讓學生體驗事件發生的等可能性。教材是通過例1（如下圖）呈現足球比賽前用拋硬幣來決定誰開球的場景，由小精靈提出問題“你認為拋硬幣決定誰開球公平嗎？”引出教學內容，教學最簡單的等可能性事件，即兩個事件發生的可能性都為，同時讓學生初步感知游戲規則公平性的數學含義。

具體教學時，為使學生更直觀地感受，老師們幾乎都如出一轍地先讓學生小組合作做拋硬幣試驗，來驗證正、反面朝上的可能性相等，均是。但在驗證過程中總不免遇到一些尷尬，如，實驗中出現正、反面出現次數較懸殊的結果，使得結論的得出生硬、牽強。又如，在實驗之后，學生反而對正、反面朝上的可能性均是這個結論產生了懷疑。我們不禁思考：拋硬幣實驗該做嗎？還是實驗的立足點產生了偏差？近日，參加區級教研活動，又聽一位老師上《等可能性》一課，不禁讓我對這個實驗展開了全面、深入的思考。

實錄如下：

一、情境導入

爸爸有一張電影票，兄弟倆人都想要，該用什么辦法來決定？

生：剪刀石頭布、拋硬幣……

二、拋硬幣實驗——體驗規則公平性

1.質疑：你認為拋硬幣公平嗎？為什么？

生：公平，正面、反面朝上的可能性都相等。

2.追問：正面朝上的可能性有多大？

不能。

拋硬幣事件屬于古典概型，發生的概率是通過理性思考得出的。拋一個硬幣結果只有兩個：正面朝上或反面朝上。只要材質是均勻的，那正面朝上的可能性就占，反面朝上的可能性也占。這個概率的得出并不依賴于實驗，也是用實驗證明不了的。看課堂上拋10次，出現了8、2，7、3等懸殊的情況，匯總40次的結果，正面朝上的也不占，數學家們試驗了成千上萬次，正面朝上的仍不是，因為實驗具有隨機性。所以，不要在學生通過數學化地理解得到正、反面朝上的概率為后，用拋硬幣的實驗去證明，實驗數據（頻率）與概率的不一致反而給學生帶來了困惑。

思考二：拋硬幣實驗能幫助學生體驗什么？

筆者認為不可用拋硬幣實驗來驗證正、反面朝上的可能性為 ，但實驗還是要做，實驗可以幫助學生體驗以下兩方面：

首先，加深對隨機現象的認識。為什么硬幣正、反面朝上的可能性是，但是拋出來的結果正、反面的次數卻不剛好占總數的呢？有些差距還比較懸殊？筆者以為這恰是個很好的契機，我們可以將問題拋給學生，讓學生去反思這些數據。經過反思，學生會領悟到結果還與運氣有關，即拋硬幣事件帶有隨機性、不確定性。雖然正、反面出現的概率是相等的，即游戲規則是公平的，但是拋的結果卻不一定，從而加深對隨機現象的認識。

其次，初步體驗大數定理。拋10次硬幣，發現正、反面出現的次數差距較大，但是隨著實驗次數的不斷增加，偶然因素產生的影響也會逐漸變小。教師可以逐級匯總，進而用計算機軟件輔助，讓學生體驗當實驗次數足夠大時，正、反面朝上的頻率會非常接近。

筆者認為，我們的統計概率教學可以在一定的情況下滲透大數定理的思想。大數定理指在隨機試驗中，每次出現的結果不同，但是大量重復試驗后出現的結果的平均值卻幾乎總是接近于某個確定的值。其原因是，在大量的觀察試驗中，個別的、偶然的因素影響而產生的差異將會互相抵消，從而使現象的必然規律性顯現出來。這對于培養學生辯證地看待隨機事件是很有裨益的。

思考三：用實驗可以去證明非等可能性事件。

筆者認為，實驗可以證明非等可能性事件。比如，扔圖釘或拋啤酒瓶蓋，通過實驗可以發現，扔啤酒瓶蓋，有鋸齒的那面朝上的次數多，隨著實驗次數不斷增加，正、反面出現的次數相差會更大。正、反面朝上的可能性就不是各占。這是由于啤酒瓶蓋材質不均勻所致。教學中，如果由拋瓶蓋實驗再到拋硬幣，學生理解可能會更深入。