淺談“三角形三邊關系”的教學

孫碗

【關鍵詞】三角形 三邊關系 特點 重點 關鍵點

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）07A-0064-02

在“三角形三邊關系”的教學中，學生對于“三角形兩條邊的長度和大于第三邊”的真正含義比較難理解。怎樣在教學過程中對這個問題進行有效的突破，下面談談個人的一些教學體會。

一、聚焦三邊關系的特點，尋找最佳突破口

三角形三邊關系的特點是“三角形兩邊的和大于第三邊”。在教學開始時，讓學生用小棒擺三角形，小棒的長度分別為10厘米、6厘米、5厘米、4厘米不等，這樣就出現有些小棒可以圍成三角形，有些不能圍成三角形。出現這兩種不同的情況，應該選哪一種作為突破呢？有一位教師是這樣教學的：

師：你們用小棒擺的圖形中，邊的長度有什么關系？

根據學生回答，教師在各自的圖形下板書算式：

師引導學生觀察圖①、圖②，提問：這兩種情況為什么能圍成三角形呢？學生回答：因為每兩條邊的和都大于第三邊，能圍成三角形。

師再指圖③、圖④問：這兩種情況為什么不能圍成三角形？是哪兩邊的長度和沒有大于第三邊呢？

學生發現圖③、圖④因為較短兩條邊之和不大于第三邊，所以不能圍成三角形。

教師引導學生小結：三角形中，任意兩條邊的長度和大于第三邊。所以，判斷能否圍成三角形，只要看較短兩邊的長度和是否大于第三邊就可以了。

在上述的教學中，看似學生順手、課堂順利、教師順心，似乎沒有什么欠缺和漏洞，但總有一種強拉著學生“吃快餐”的感覺。學習過程中我們感覺不到學生主動探知的欲望，而是教師讓觀察什么，學生就觀察什么；教師引導發現什么，學生就發現什么。學生的思維被“綁架”著去思考教師的問題。在設計課堂教學的同時，教師沒有意識到學生也被“設計”了。

為了讓學生產生探究的欲望，筆者進行了這樣的設計：

游戲導入：全班分成4個組，把任意的3根小棒分給每個組，比一比哪一組圍成三角形的速度快。

學生操作幾分鐘后，有些組利用小棒圍不成三角形，然后引導學生討論：為什么有兩組的3根小棒圍不成三角形呢？怎樣改變小棒的長度就能圍成？三條邊的長度要滿足什么條件才能圍成三角形？

學生在富有挑戰的游戲中，迅速把思維聚焦到不能圍成三角形的原因分析上。在尋找原因和解決問題的過程中，學生明白了：不是任意長度的3根小棒都能圍成三角形，只要其中有2根小棒的長度和小于或等于第三邊，就不能圍成三角形。

這樣，學生真正找到了不能圍成的原因，很好地理解了圍成三角形所需要的三邊長度關系。以“不是”來詮釋“是”，比不厭其煩地強調和枯燥無味地重復，更易于讓學生理解。

二、抓住三邊關系的重點，引導學生全面感知

從不能圍成三角形的圖形上，學生直觀地看到了：因為其中一組兩條邊的長度之和沒有大于第三條邊，所以不能圍成三角形。這種認識還是膚淺、片面的，學生的眼睛里看到的、大腦中想到的，只有不能圍成的兩條邊，其他兩組兩條邊的長度和是否也要大于第三條邊呢？他們基本不會去思考。如何讓學生由對其中兩條邊長度和的關注，成功“引渡”到對每兩條邊長度和的關注？為此，筆者設計這樣的教學：

月月拿著7厘米、2厘米、4厘米的3根小棒，聯想到剛學過的三角形三邊關系，她興奮地大叫：“7+2>4，這3根小棒能圍成三角形。”同學們，你們認為月月說得對嗎？

此時，可留足時間讓學生暢所欲言，鼓勵他們先動手操作，再發表自己的觀點。

討論后，學生發現：雖然7+2>4，7+4>2，但是2+4<7，只要有其中兩邊的長度和不大于第三邊，就不能圍成三角形。

為加深理解，再利用課始的四幅圖，進行驗證。通過學生的操作與比較，全面感知了“三角形兩條邊的長度和大于第三條邊”中的“兩條邊”是指任意的“兩條邊”。

三、突出三邊關系的關鍵點，實現方法的自主優化

三角形任意兩條邊的長度和都大于第三邊，才能圍成三角形，其中關鍵點就是較短兩條邊的長度和大于第三邊。如何突出這個關鍵點，讓學生主動產生優化的需要，并被大部分學生接受呢？

筆者采用了設置障礙的方法，讓學生自己找尋解決問題的出路：出示一些小棒，讓學生判斷哪些能圍成三角形，哪些不能？

為了更有說服力，再設計這樣的活動：提供標有厘米刻度的小棒，讓學生任意剪出三根整厘米的，根據較短兩條邊的長度和與第三邊的關系，判斷能否圍成三角形，再進行驗證。

【反思】

筆者曾想，三角形三邊關系的教學，有必要這么曲折嗎？先初步感知其中兩條邊的長度和不能等于或小于第三邊，再全面認識任意兩條邊的長度和大于第三邊，最后自動優化出只要較短兩條邊的長度和大于第三條邊就可以圍成三角形。為什么不可以開門見山，避繁就簡，在學生操作出不能圍成的情況時，就順勢引導得出：較短兩條邊的長度和大于第三邊呢？這樣不是更加省時省事嗎？

帶著上述疑問，筆者重新審視三角形的三邊關系，覺得本節課的探討可分為三個不同的層次，雖然重點都在三角形兩邊的長度和與第三邊的關系上，但每一層次的側重點卻有所不同。

第一層次：學生憑借直觀操作看到了：因為存在著兩邊的長度和小于或等于第三邊，三條線段不能首尾相連或不能形成三個角，所以不能圍成三角形。至于其他的任意兩邊的長度和與第三邊有什么關系，學生不會考慮。學生對三角形邊的關系的了解是表象的、片面的、膚淺的，所以在這一層次就迫不及待地讓學生得出較短兩邊長度和大于第三邊就能圍成三角形，難免會“揠苗助長”。

第二層次：通過有意設計月月認為7厘米+2厘米>4厘米，所以7厘米、2厘米、4厘米三條線段一定能圍成三角形的故事的探討，讓學生意識到僅有一組或兩組兩條邊的長度之和大于第三邊是不行的，必須滿足任意兩條邊的長度和都大于第三邊，才可以圍成三角形。這樣，學生的注意焦點自然而然就從對一組邊的片面關注過渡到對三組邊的全面關注。學生也從膚淺的數學直觀感覺，深入到對三角形三邊關系基本特征的理性思考。

第三層次：讓學生在繁瑣的計算中產生優化方法的需求。因為每次都計算三組算式，太繁了，也沒有必要，只要找到其中一組兩邊長度和不大于第三邊就行了，從而升華到只要看較短兩邊的長度和是否大于第三條邊就可以了。這一判斷方法，個別學生能夠發現，但大部分學生理解起來還是比較抽象。為了更有說服力，筆者安排學生剪下整厘米的三根線段，讓學生先根據較短兩邊的長度和與第三邊的關系進行判斷，再動手圍一圍，以驗證判斷的正確性。

這樣，學生的認識經歷了由膚淺到深刻、由片面到全面，循序漸進、螺旋上升的過程。如果省略了認識過程，學生錯過對三角形三邊關系認識的許多體驗，就會失去很多探究的樂趣！

三角形三邊關系的認識，過程雖然曲折，但卻不可簡化。那么，為什么教材上的結論是“三角形兩條邊的長度和大于第三邊”而不是“較短兩條邊的長度和大于第三邊”呢？筆者認為，三角形兩條邊的長度和大于第三邊是三角形三邊關系的基本特性，而“較短兩條邊長度和大于第三邊”是由基本特性優化出的簡便判斷方法，對學生的理解要求比較高，可供學有余力的學生探討、研究。（責編 韋建成）