淺談小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的基本思想方法

張國生

[摘 要]《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》把“雙基”改為“四基”，即把原來的“基礎(chǔ)知識”與“基本技能”修改為“基礎(chǔ)知識”、“基本技能”、“基本思想”和“基本活動經(jīng)驗”。數(shù)學(xué)的精髓在于數(shù)學(xué)基本思想，它并沒有像數(shù)學(xué)知識那樣被清清楚楚地顯現(xiàn)在課本里，而是隱含在教材中，需要教師去挖掘、去提煉，并貫穿到教學(xué)過程中。小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著哪些最基本的數(shù)學(xué)思想方法呢？筆者從長期的教學(xué)實踐中總結(jié)出有如下方面最基本的思想方法：觀察比較思想方法、分類的思想方法、抽象和概括思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、化歸思想方法等。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué)；基本；思想方法

[中圖分類號]00 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1009 — 2234（2013）07 — 0152 — 02

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）總目標(biāo)明確要求：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。《標(biāo)準(zhǔn)》把“雙基”改為“四基”，即“基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”。 以往，我們通常把概念、性質(zhì)、法則、公式、數(shù)量關(guān)系以及解題方法等作為數(shù)學(xué)的組成部分。當(dāng)然，沒有這些組成部分，數(shù)學(xué)就不存在了。但是，只有這些組成部分，也不是本質(zhì)意義上的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)至少還包含由這些內(nèi)容所反映出來的思想方法。也可以說數(shù)學(xué)的精髓在于其基本思想，在教學(xué)活動中“基本思想”應(yīng)是主線，但是數(shù)學(xué)思想不像數(shù)學(xué)知識那樣被清清楚楚地顯現(xiàn)在課本里，而是隱含在教材中，需要教師去挖掘、去提煉，并貫穿到教學(xué)過程中。

所謂的數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出的一些觀點，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中的普遍規(guī)律，直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動，這是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。所謂的數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的方法，也是解決數(shù)學(xué)問題的策略。數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它更具有普遍的指導(dǎo)意義。而數(shù)學(xué)方法是微觀的，它是解決數(shù)學(xué)問題的直接而具體的手段。一般來說，前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的策略。但由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡單，知識最為基礎(chǔ)，所以隱藏的思想和方法很難截然分開，更多的反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。

小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著哪些基本的數(shù)學(xué)思想方法呢？

一、觀察和比較思想方法

在邏輯學(xué)上，觀察和比較是重要的思維方法，現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法把觀察法和比較法看作是最基本的數(shù)學(xué)思想方法。

觀察是思維的窗口，是認(rèn)識的開始，是解決問題的基礎(chǔ)，可以說科學(xué)上的重大發(fā)現(xiàn)多起源于觀察。沒有牛頓觀察到蘋果從樹上掉下來，就沒有萬有引力定律的產(chǎn)生，沒有愛迪生一生的觀察與探索，就沒有“世界發(fā)明大王”的誕生。觀察對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是十分重要的，數(shù)與代數(shù)，統(tǒng)計與概率，空間與圖形，實踐與綜合應(yīng)用，每個領(lǐng)域的學(xué)習(xí)都離不開觀察。良好的觀察力是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本條件，也是激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探索精神、引發(fā)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一到六年級都有觀察物的內(nèi)容，課程的基本要求就是通過學(xué)生觀察物體，概括物象培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，可見，觀察法這一思想方法對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是多么重要。

比較是通過觀察，分析對比研究對象的共同點和差異點。它是認(rèn)識事物的最基本的思想方法之一。愛迪生說：我平生從來沒有做出過一次偶然的發(fā)明，我的一切發(fā)明都是經(jīng)過深思熟慮和無數(shù)次的嘗試比較的結(jié)果。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第一冊《比一比》就是讓學(xué)生開展簡單的比較活動，經(jīng)歷并體驗比較的過程，建立多少、大小、長短等數(shù)學(xué)概念。

二、分類思想方法

數(shù)學(xué)中的分類是按照數(shù)學(xué)對象的異同點，把研究對象按某種“標(biāo)準(zhǔn)”分成幾類的一種思想方法。按照某一標(biāo)準(zhǔn)，同類者具有相同點；不同類者有相異點。分類和比較是唇齒相依的的，分類和比較同時存在相互促進(jìn)。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年上冊第五單元《分類》教學(xué)要求是：通過分形體異同的物體、顏色異同的物體、長短異同的物體、用途異同的物體等活動，初步體驗分類思想，探索分類的方法，為以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打基礎(chǔ)。再如：能被2、3、5整除的數(shù)的特征、三角形的分類等等都是建構(gòu)在分類的數(shù)學(xué)思想基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。

三、類比思想方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，根據(jù)兩種事物的相似或相同的形式或規(guī)律，通過推理運用到另一類事物中去，如果我們把這些類似進(jìn)行比較，加以聯(lián)想的話可能出現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果和方法。這種把類似進(jìn)行比較、聯(lián)想，由一個數(shù)學(xué)對象的已知特殊性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學(xué)對象上去，從而獲得另一個對象的性質(zhì)的方法就是類比法，也叫“比較類推法”。往往也借助于類比方法，從而達(dá)到啟發(fā)思路的目的。

例如，找規(guī)律：由圖形規(guī)律類比到數(shù)字規(guī)律；又如，在學(xué)習(xí)（a+b）c=ac+bc類比到（a-b）c=ac-bc；再如將小數(shù)乘法的意義類比到分?jǐn)?shù)乘法的意義等等，在數(shù)學(xué)知識的推導(dǎo)中類比法是十分重要的學(xué)習(xí)方法，它也是人腦認(rèn)識世界時可以像模塊一樣復(fù)制的直接根據(jù)。

四、化歸方法

所謂“化歸”，可以理解為轉(zhuǎn)化和歸類的意思。化歸方法是指把待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中，最終獲得原問題解答的一種手段和方法。簡單地說，化歸就是問題的規(guī)范化、模式化。

例如，假期中，班長、學(xué)習(xí)委員和勞動委員都到學(xué)校參加義務(wù)勞動。班長每2天到校一次，學(xué)習(xí)委員每4天到校一次，勞動委員每5天到校一次。7月15日三人統(tǒng)一放假，幾月幾日他們又再次一起到校勞動？班長從7月15號算起第幾天到校正好是2的整倍數(shù)，學(xué)委從7月15日起第幾天到校正好是4的整倍數(shù)，勞動委員從7月15號起第幾天到校正好是5的整倍數(shù)，三人又再次一起到校的時間從7月15號算起第幾天正好是2、4和5的“最小公倍數(shù)”。因此求出2、4和5的最小公倍數(shù)后只要從7月15日往累計上這個天數(shù)就可以了。此為題的思考過程，實質(zhì)上是把一個實際問題通過分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個求“最小公倍數(shù)”的問題，即把一個實際問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題，這正是化歸思想的實際運用。

五、數(shù)形結(jié)合思想方法

提到數(shù)形結(jié)合讓人很快會想到幾何問題的解決，其實數(shù)形結(jié)合就是通過圖形可以很快的抽取出數(shù)或數(shù)量以及數(shù)量關(guān)系。從解決問題的策略上來說就是通過直觀的圖形表示隱含的問題。

解決應(yīng)用題時多數(shù)用畫線段圖的方式輔助分析。

例如，AB兩城間有一條公路長240千米，甲乙兩車同時從A、B兩城出發(fā)，甲以每小時45千米的速度從A城到B城，乙以每小時35千米的速度從B城到A城，各自到達(dá)對方城市后立即以原速沿原路返回，幾小時后，兩車在途中第二次相遇？

六、抽象和概括思想方法

抽象和概括是兩種非常重要的數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)理論的形成都離不開抽象和概括。 抽象是在頭腦中把同類事物的共同的、本質(zhì)的屬性抽取出來，并舍棄個別的、非本質(zhì)特征的思維過程。這里的關(guān)鍵詞有兩個，抽取和舍棄，抽取的是事物的本質(zhì)特征，是我們要給予單獨考察的。而舍棄的是事物的非本質(zhì)特征。

概括就是把個別事物的某些屬性推廣到同類事物中去或者總結(jié)同類事物的共同屬性的思維過程。概括包含兩方面，一是推廣，把個別事物的某些屬性推廣到同類事物中去，二是總結(jié)，把同類事物的共同屬性總結(jié)出來。

抽象和概括是兩種不同的數(shù)學(xué)方法，抽象側(cè)重于分析和提煉。而概括側(cè)重于歸納和總結(jié)。但二者又有著密切的關(guān)系。抽象是概括的基礎(chǔ)，概括是抽象的綜合。

如：在學(xué)習(xí)長方形和正方形面積一課，先讓學(xué)生通過透格子的方法，先測量每個長方形和正方形的表面布滿了幾行幾列的一平方厘米的格子，再用乘法表示出行數(shù)×列數(shù)=面積，通過多次試驗，然后再觀察每個長方形或正方形的面積與蒙上去的格子紙行列之間的關(guān)系，進(jìn)而總結(jié)出：長方形的面積=長×寬，正方形面積=邊長×邊長。這一例子是充分的利用了抽象概括的數(shù)學(xué)思想。

七、歸納猜想思想方法

人們運用歸納法，得出對一類現(xiàn)象的某種一般性認(rèn)識的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。馬克·吐溫說過：想出新辦法的人在他的辦法沒有成功以前，人家總說他是異想天開。但這種異想天開正是猜想，它是啟動所有偉大創(chuàng)舉開端的夢。歌德巴赫猜想由1742年他的一串等式6=2+2+2，9=3+3+3，12=2+5+5，7=2+2+3，10=2+3+5，13=3+5+5，8=2+3+3，11=3+3+5，14=2+5+7，…開始的，他按耐不住興奮，寫信告訴歐拉說，他想冒險發(fā)表下列猜想：“大于5的任何自然數(shù)是3個素數(shù)之和。” 這一猜想至今仍無人能夠證明，我國數(shù)學(xué)家陳景潤是目前取得成果最好的。這就是一個好猜想的巨大價值！有了猜想就有了前進(jìn)的動力，我們的習(xí)主席提出的“中國夢“，不就是引發(fā)著我們中國人對非常幸福的現(xiàn)實充滿著夢想，對我們不可預(yù)知的幸福要充滿猜想嗎？

八、數(shù)學(xué)模型思想方法

模型思想是此次《標(biāo)準(zhǔn)》修訂新增的核心概念之一。 所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象、概括地表征所研究對象（中小學(xué)主要指現(xiàn)實問題）的主要特征、關(guān)系所形成的的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)中，為表征特定的現(xiàn)實問題，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程 、函數(shù)、不等式、及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。如長方體體積公式的推導(dǎo)，利用若干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有小正方體的個數(shù)與長方體的長、寬、高的關(guān)系，進(jìn)而歸納出長方體的體積公式，建立模型v=abc，這是一個典型的模型化過程。

如左圖，瓶子高度為25厘米，下部成直圓筒形，內(nèi)裝8兩油，油面高14厘米，若將其倒立，則油面高18厘米。這個瓶子可裝油多少兩？

分析；此題是求水的容積，有一個在建模過程中需要假設(shè)，就是礦泉水瓶援助部分并不是一個圓柱的形狀，這樣才便于建立模型，由于不知道圓柱的底面積，所以無法用容積公式直接求解。這就需要換一個思路來想，根據(jù)容積公式v=sh.可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比，這樣就把求容積問題轉(zhuǎn)化為比例問題。由于礦泉水瓶最上面部分形狀不規(guī)則，倒立過來以后喝的水就相當(dāng)于圓柱形瓶子高度的一半是7厘米。滿瓶礦泉水就相當(dāng)于這瓶水都裝在圓柱形瓶子后，高度為21厘米的水。滿瓶的水為v毫升，列式為：v： （14+7）= 8：14，V = 12

數(shù)學(xué)的思想方法還有很多，如：對應(yīng)思想方法、假設(shè)思想方法、符號化思想方法、集合思想方法、統(tǒng)計思想方法等等，都是我們在教學(xué)實踐中需要加以重視的，這里就不再一一贅述。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識地滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于培養(yǎng)和開發(fā)學(xué)生的潛能，有利于培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣，使學(xué)生會“數(shù)學(xué)地”思考和解決問題，把知識學(xué)習(xí)與能力養(yǎng)成、智力發(fā)展有機(jī)地統(tǒng)一起來。教學(xué)中，筆者建議教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和年齡特征，有意識地挖掘蘊(yùn)含在教材里的隱性資源，真正把數(shù)學(xué)思想方法的滲透落到實處，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到有效的發(fā)展，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到全面的提高，為培養(yǎng)新世紀(jì)的新型人才奠定堅實的基礎(chǔ)。

〔參 考 文 獻(xiàn)〕

〔1〕全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔M〕.北京：人民教育出版社，2011.〔責(zé)任編輯：侯慶海〕